nは自然数とする。 3^n+1+4^2n-1は13の倍数であることを証明せよ。 この問題教えてくださ

nは自然数とする。
3^n+1+4^2n-1は13の倍数であることを証明せよ。

この問題教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2018/12/02 09:55

数学的帰納法で解けます。

n=1のとき：
3^(1+1) + 4^(2-1)=3^2 + 4=13で13の倍数。

n=p（p：自然数）のとき13の倍数であると仮定したとき、n=p+1を考える。
3^(p+1) + 4^(2p-1)=13k（k：自然数）とすると、n=p+1では、

3^((p+1)+1) + 4^(2(p+1)-1)
=3^(p+2)+4^(2p+1)
=3 * 3^(p+1) + 4^2 * 4^(2p-1)
=3 * 3^(p+1) + 16 * 4^(2p-1)
=3 * 3^(p+1) + (3+13) * 4^(2p-1)
=3 * 3^(p+1) + 3 * 4^(2p-1) + 13 * 4^(2p-1)
=3*(3^(p+1) + 4^(2p-1)) + 13 * 4^(2p-1)
=3*13k + 13 * 4^(2p-1)

3*13k=39k、13 * 4^(2p-1)はともに13の倍数なので、n=p+1のときも13の倍数になる。
よって任意の自然数nで、3^(n+1) + 4^(2n-1)は13の倍数になる。
（証明終わり）

No.3 回答者： rnakamra 回答日時： 2018/12/02 18:32

3^(n+1)+4^(2n-1)=3^(n+1)+4^{2(n-1)+1}=3^(n+1)+4*16^(n-1)=3^(n+1)+(13-9)*(13+3)^(n-1)

後は一番右の項を2項定理で展開、素因数として13を含む項と含まない項に分ける。すると含まない項は一番左の項と打ち消しあう。

質問者へ。
3^n+1+4^2n-1
だと
(3^n)+1+4^(2n)-1
としか読めません。()を入れて書いてください。
肩に指数をつける場合は意識しませんが、上記の書き方だと^の優先順位が+,-よりも上となります。

No.1 回答者： cruelman 回答日時： 2018/12/02 09:54

数学的帰納法を使えば良い。

n=k+1の式をどうすれば良いのかよくわからない。ということであれば
16-3=13であることを利用して式を変形すれば見えてくるはずです。

それ以前のところでつまずいているのであれば数学的帰納法について自分で勉強してください。