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an+1=2an+3n

の解き方を教えてください。

これって漸化式ですか?

n+1 および n は項数を表します。

質問者からの補足コメント

  • やはり漸化式ですよね。
    ただ、上記の式のみで、a1の条件がありませんでした。
    そんな問題ってありますか?

    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2015/06/25 21:12
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A 回答 (3件)

a(n+1)=2a(n)+3n (1)


a(n)=2a(n-1)+3(n-1) (2)

(1)-(2)

a(n+1)-a(n)=2[a(n)-a(n-1)]+3  (3)

b(n)=a(n+1)-a(n) (4)

とおく。(3)は

b(n)=2b(n-1)+3      (5)

収束値βがあると仮定すると

lim(n→∞)b(n)=lim(n→∞)b(n-1)=β

(5)は

β=2β+3

β=-3 (6)

(5)-(6)

b(n)+3=2b(n-1)+6=2[b(n-1)+3]=2^2[b(n-2)+3]=....=2^(n-1)[b(1)+3]

b(n)=2^(n-1)(b(1)+3)-3 (7)

(4)より

b(n)=a(n+1)-a(n)
b(n-1)=a(n)-a(n-1)

b(1)=a(2)-a(1) (8)

足し合わせると

Σ(k=1,n)b(k)=a(n+1)-a(1) (9)

(7)より

Σ(k=1,n)b(k)=(b(1)+3)[(2^n-1)/(2-1)]-3n=(b(1)+3)(2^n-1)-3n

(9)に代入

a(n+1)=(b(1)+3)(2^n-1)-3n+a(1)

a(n)=(b(1)+3)[2^(n-1)-1]-3(n-1)+a(1)

   =(b(1)+3)2^(n-1)+a(1)-b(1)-3n  (10)

a(1),a(2)が与えられると(8)よりb(1)が計算できて、(10)により一般項が与えられる。
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特性方程式で、


a=2a+3n
a=-3n
よって、
an+1+3n=2(an+3n)
an+3n=bn とすると
bn+1=2bn
b1=a1+3
(a1は未定なので、b1も未定)
よって、bnは、初項a1+3,公比2の等比数列
bn=(a1+3)*2^(n-1)
an=bn-3n
=(a1+3)*2^(n-1)-3n
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漸化式です。

漸化式の場合はa1がいくつであるかが重要です。a1はいくつでしょうか?
a1,a2,a3と調べていけば何か規則性が見つかります。頑張って下さい。
この回答への補足あり
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