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階差数列の一般項を求めるとき「nが2以上のとき」、と断って一般項を求め、その後、必ずn=1のときその一般項が成り立つか調べますが、何故でしょう。
n=1のとき成り立たないことがあるからなのでしょうか。とすれば、成り立たないサンプルを挙げて下さい。

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A 回答 (4件)

titetsuさん、こんにちは。


これは、相当に難しい問題であるみたいですよ。
「階差数列」で、ちょっと検索してみましたが、該当するページが見つかりました。
ここでは、n=1のとき、成り立たない反例として、

a[n]=1,3,4,5,6,・・・・

のような数列が挙げてあります。

この階差数列b[n]=a[n+1]-a[n]
をとると、
b[1]=2,b[n]=1(n≧2)
のようになっています。
a[1]=1
ですから、n≧2のとき、一般項を求めると
a[n]=a[1]+Σ(k=1 to n-1)b[k]
=1+{2+1+1+・・・+1}←(n-1)項分
=n+1

ところが、n=1のときを代入すると、a[1]=2となるが
実際はa[1]=1なので成り立っていない。

という例が載っています。
一般的には、n=1のときも成り立つはずなのですが、このように
成り立たない数列も存在する、ということでしょうか。
参考URLは、かなり難しい議論がなされているようです。
ご参考になればうれしいです。

参考URL:http://www.nikonet.or.jp/spring/kaisa/kanazawa.htm
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この回答へのお礼

アドバイスと参照H.P.をありがとうございます。
一般項が1/nのとき、n=1を代入できないと言う話ですね。なるほどでした。疑問に沿ったアドバイスありがとうございました。

お礼日時:2003/07/02 09:44

a[1]=1, a[n+1]=2a[n](ただし、n=1,2,3,・・・)


という数列{a[n]}の階差数列{b[n]}(ただし、n=1,2,3,・・・)を例にとります。

 b[n]=a[n+1]-a[n]
   =2a[n]-2a[n-1]
   =2(a[n]-a[n-1])
   =2b[n-1]

このように式変形することで、
数列{b[n]}が、公比2の等比数列であることがわかります。

ただし、このような式変形が可能なのは、
「nが2以上の整数のとき」に限ります。
「n=1のとき」を除外して話を進めないと都合が悪いのです。

なぜなら、もしも、この段階で「n=1のとき」を含めてしまうと、
上記の式変形の中に、a[0],b[0]という、
どこにも定義されていない項が出現することになってしまうからです。

ですから、そのような矛盾を回避するために、
「n=1のとき」を場合分けせざるを得ないのです。

その結果、「n=1のとき」を後回しにして、とりえあず、
>「nが2以上のとき」、と断って一般項を求め、
>その後、必ずn=1のときその一般項が成り立つか調べ
という解答手順になります。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
nが2以上のときに限って進める以上、n=1は後で確認せざるを得ない、ということですね。
求めた一般項って不思議とn=1のとき成り立ってしまいますよね。

お礼日時:2003/07/03 10:05

fushigichanさんは、難しく考えすぎているような…。


(確かに反例の説明はわかりますけど)

添え字を[ ]でくくることにします。

数列{a[n]}に対して、階差数列{b[n]}の定義は

b[n] = a[n+1] - a[n]

ですね。

b[1] = a[2] - a[1] ですから、数列{a[n]}の第2項a[2]が
必ず必要になります。

{b[n]}だけ考えれば、n=1 でもよさそうですが、{b[n]}は{a[n]}から作ったものなので、
n≧2 でないと、 (つまり{a[n]}の第2項以上が存在しないと){b[n]} が
成立しないからです。

こういうことだと思いますが。
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この回答へのお礼

アドバイスありがとうございます。
問題が成立している限り、n=1のとき必ず一般項が成り立つと言うことですね。

お礼日時:2003/07/02 09:51

あなたが今取り組んでいる数列を題材にして質問すると,話がより具体的になると思うのですが,


質問が一般的過ぎますね。とはいえ・・・

たとえば,数列の隣接する項の間で,
an=an-2 + an-1
というような関係があるとき,
n=1 の時には,(n=2 のときもですが)
an-1 や an-2 というものが意味を持たないでしょ?
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この回答へのお礼

 解答ありがとうございます。
 数列の一般項を求める問いで、階差数列を用いた解答をする際(nが2以上でと断ってΣでk=1からk=n-1までの計算の後)求められた一般項がn=1のとき、問いに与えられたa1の値と一致するのを確認するのは何故か、必ず一致することが分かっていればわざわざ「これはn=1のときも成立」などと確認する内容を記述する必要がないのではないのか、と言う疑問でした。
 言葉足らずな質問で煩わしてしまったことをお詫びします。m(__)m

お礼日時:2003/07/02 09:23

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