lim 1+3+3^2+...+3^n/3^n n→∞ この問題の解答ですが、一行目のイコール3^n

lim 1+3+3^2+...+3^n/3^n
n→∞
この問題の解答ですが、一行目のイコール3^n+1-1/2が、なぜ分子がそうなるかわかりません。
自分は3^n+1-3/2だと思ったのですがなぜ違うのでしょうか

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/03/02 18:40

等比数列の和は、基本公式なので、ちゃんと覚えたほうがいいでしょうね。

S　= 1 + 3 + 3^2 + ... + 3^n　と置くと、
3S =　　3 + 3^2 + ... + 3^n + 3^(n+1)　と引き算して
(3-1)S = 1 - 3^(n+1).
よって S = { 3^(n+1) - 1 }/2. 写真の１行目が合っています。

これと同様に 1 + r + r^2 + ... + r^n を自分で計算して、
結果を暗記しておきましょう。

{ 3^(n+1) - 3 }/2 が何を間違った結果なのかについては、
あなたがその式を導いた途中計算を書けばコメントできるかもしれません。

ところで、この問題は、最初から公比 1/3 の数列として
(1+3+3^2+ ... + 3^n)/3^n
= (1/3)^n + (1/3)^(n-1) + (1/3)^(n^2) + ... + (1/3)^0
= { 1 - (1/3)^(n+1) } / { 1 - 1/3 }
→ (1 - 0) / (2/3)
= 3/2.
で計算してもいいですね。

No.1 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/03/02 18:06

初項a、公比ｒ、項数ｎの等比数列の和の公式は、a(r^n-1)/(r-1) です。

問題の数列は、初項１、公比３、項数 n+1 なので、その和は、
1{3^(n+1)-1}/(3-1)={3^(n+1)-1}/2 となります。