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次の漸化式で定まる数列{an}の一般項を求めよ。
この問題は、隣接三項間漸化式?を用いて解くのでしょうか?解説をよろしくお願いします。

「次の漸化式で定まる数列{an}の一般項を」の質問画像

A 回答 (2件)

問題の漸化式と初期条件から


数学的帰納法によって
全ての自然数 n について an > 0
であることが言える。
よって bn = log_2 an によって
数列 { bn } を定義することができる。

漸化式両辺の log_2 を取ると、
b(n+2) = 1 + (1/3){ 5 b(n+1) - 2 b(n) }. ←[0]
また、初期条件から b(1) = 0, b(2) = 1.

この三項間(線型)漸化式を解くには、
目障りな定数項はとりあえず無視して
線型部分の固有方程式 x^2 = (1/3){ 5 x - 2 } を解く。
解は x = 1, 2/3. この値を使って、[0] は
b(n+2) - 1b(n+1) = 1 + (2/3){ b(n+1) - 1b(n) },   ←[1]
b(n+2) - (2/3)b(n+1) = 1 + 1{ b(n+1) - (2/3)b(n) } ←[2]
とふた通りに変形できる。
式に定数項 1 が残っていることに注意。

[1] を解くには、
特性方程式 x = 1 + (2/3)x の解 x = 3 を利用して
等比数列の漸化式
b(n+2) - 1b(n+1) - 3 = (2/3){ b(n+1) - 1b(n) - 3 }
へ変形し、よって
b(n+1) - b(n) - 3 = { b(2) - b(1) - 3 }(2/3)^(n-1)
        = { 1 - 0 - 3 }(2/3)^(n-1).    ←[1’]
[2] は、
b(n+1) - (2/3)b(n) についての等差数列の漸化式だから、
b(n+1) - (2/3)b(n) = { b(2) - (2/3)b(1) } + 1(n-1)
         = 1 - (2/3)0 + n - 1
         = n             ←[2’]
[1’][2’] を引き算して、
(-1 - (-2/3))b(n) = (-2)(2/3)^(n-1) - n より
b(n) = 9(2/3)^n + 3n,

よって、
a(n) = 2^b(n) = 2^{ 9(2/3)^n + 3n }
       = 512^{ (2/3)^n }・(8^n).
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bn = log an と置くと、与えられた式から


{ bn } の隣接三項間漸化式が得られますね。
それを型どおりに解いて、
an = e^bn で戻せばいいんじゃないかな。
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