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こんにちは。数学にはトンチンカンな男です。先日バイトの友人が毎日倍々のお金をもらうと1ヶ月後にいくらになるか?という問題を出してきました。1日目は1円もらい2日目に2円、3日目に4円という具合です。公式があるそうなんですがさっぱり検討がつきません。ご存じの方いましたら教えて下さい。

A 回答 (9件)

1たす2の2乗たす2の3乗・・・となります。

高校生ならばこれは,初項1,公比2の等比数列だとわかります。仮にn番目まですべて足すとします。
ここから公式です.初項A,公比Rとしますと、
A(1-Rのn乗)割る1-Rです。だから,十日まで足すとすると,nが10になります。それで、Aが1、Rが2です。すると、
1(1-2の10乗)割る1-2=(1-1024)割る(-1)=1023です。
 だから,足したい日にちをnに代入して計算すればいいです.ほかに、これではどうでしょう。1+3+9+27+・・・なんでいうのは、これも、Aが1、Rが3
nはじぶんできめてください。これでできます。
                   
                   
             
                
          
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公式だけだとなぜそうなるのかがわかりにくいかと思いますので


もう少しわかりやすい方法を説明します。
一ヶ月(31日)の合計をSとすると、S は次の式になります。

S = 2^0 + 2^1 + ... + 2^30

ここで、Sをちょうど2倍した 2S を考えると、

2S = 2^1 + 2^2 + ... + 2^31 になります。
2S - S を考えて

2S = (2^1 + 2^2 + ... + 2^31)
S = (2^0 + 2^1 + ... + 2^30 )
-)_____________________________________
S = -2^0 + 2^31

S = 2^31 - 2^0 = 2^31 - 1 になります。
公式も同じように考えて導くことができます。
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結論!


No1の方の解法がベスト!
数Aの参考書片手に等比数列の勉強で早ければ5分で理解できます。
結局は公式にほりこむだけなんですけどね^^
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うぅーん・・自分のッテ全然違かったなぁ(笑)


三日後に4円だったのね(爆)
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それは、2の30乗で出ると思います。

(1ヵ月を31日とした場合)
1ヶ月を30日にすると2の29乗だと思います。
そうすると、31日の場合¥1073741824、30日の場合¥536870912になります。
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X:何日目かのもらえるお金。

 Y:何日目 として、数式で書くと次のようになります。

X=2^(Y-1)

21日日目に100万円を超えますね。

30日目なら  536870912円です。(5億3687万912円)
31日目なら 1073741824円です。(10億7374万1824円)
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10日後に1000円を超えますね.(1024)


20日後に1000000円を越えます.(1048576)
30日後に1000000000円を超えます.(1073741824)

おもしろい公式のようなものは,ないかと思いますが...
その時までの累計は,その日にもらう金額の2倍から1円引いた額になります.
10日目までの累計:1024x2-1=2047円
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単純に31x2=62円じゃだめなのかなぁ・・。

自分も数学苦手なので自信なし。
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数列


1,2,4,8・・・2^(n-1)
なので(初項1、公比2なので)

Σ2^(n-1)=2^n-1

よって一月後は2^31-1=2147483647円
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