一日ずつ２倍の金額をもらい続けると・・

Question

昔話か何かであったものだと思うのですが、
一日目１円
二日目２円
三日目４円
四日目８円
五日目１６円
六日目３２円・・・
と毎日２倍の金額をもらい続けると、１ヶ月（３０日）でいくらになるので
しょうか。
地道に計算して答えはでるとおもいますが、
数列の一般項を教えてほしいです。

よろしくお願いします。

acacia7 · Accepted Answer

昔話で・・というのは一休さんあたりの話でしょう。

で、お金ではなく米粒の話です。
将棋盤の桝目の分だけお米をもらうというもので、
一桝目には１つぶ、二桝目には２つぶ、
三桝目には４つぶ、四桝目には８つぶ、・・・・ともらうという話です。
２の８０乗とかどれだけの量になるでしょう・・

また、別のパターンで累乗計算が効く昔話としては、
バラモンの塔の話があります。
「ハノイの塔」という名前でしられているゲームなのですが、
ある寺院に黄金の円盤が６４枚あり、
その寺院の修行僧がこれを一枚ずつ移動しているというお話で、
１つの柱に刺さった６４枚の円盤を別の柱に移動し終わったとき、
世界が崩壊するというものです。

こちらは計算をしてみると、
一枚動かすのに１秒とすると、
１枚を動かすのに１秒、
２枚を動かすのに三手かかるので、３秒
３枚を動かすのに７手かかるので、７秒
ｎ枚動かすのに２＾ｎ－１・・
ですから、６４枚だとほぼ、２＾６４
十進数にするとだいたい１０＾１８・・
てな時間なので、1年、３＊１０＾７秒ぐらいですので・・
３＊１０＾１０年・・３００億年・・
ということで、地球ができて６０億年ぐらいということで、
当分安泰ですね・・（え？）

Mell-Lily · Answer

一休さんの話です。実際に貰うのは、米粒です。

要するに、前の日に貰った米粒の倍の数の米粒を貰うわけです。n日目に貰う米の数をa_nとすれば、
　a_(n+1)=2a_n
が成り立ちます。これは、初項a_1=1,公比b=2の等比数列の漸化式です。第n項a_nは、
　a_n=a_1×b^(n-1)=1×2^(n-1)=2^(n-1).
第n項までの和S_nは、
　S_n=a_1(b^n-1)/(b-1)=1×(2^n-1)/(2-1)=2^n-1　
となります。したがって、30日までに貰う米粒の合計数は、
　S_30=2^30-1=1073741823 (粒)
です。重さに換算すれば、米一粒の重さを17mgとし、
　1073741823×17÷1000÷1000÷1000≒18.25[t]
の米の量になります。

参考URL：http://www.kumamotokokufu-h.ed.jp/kokufu/math/math_7.html

noname#161749 · Answer

２のべき乗計算ですね、
参考URLの29回目が答えになりますね（2^29=5,3687,0912）、

あと「SoftCalc」などのべき乗計算（2^xなど）ができるソフトを使う事も。

http://www.vector.co.jp/soft/win95/personal/se214811.html

参考URL：http://www.ffortune.net/kazu/kazu/bin.htm

siegmund · Answer

洋の東西を問わず，この種の話は昔からあります．
最初は大したことないと思っているうちにどんどん増えだして...
というパターンです．
曾呂利新左衛門が太閤秀吉を降参させた話を子供の頃に
読んだような気がします．

１日目　　１円　　⇒　　2^0 円
２日目　　２円　　⇒　　2^1 円
３日目　　４円　　⇒　　2^2 円
４日目　　８円　　⇒　　2^3 円
・・・・・・・・・・・・
ｎ日目　　　　　　　　　2^(n-1) 円

ですから，ｎ日目までの合計は
(1)　　１＋２＋４＋・・・＋2^(n-1) 円
になります．
この級数は等比級数で，和が
(2)　　１＋２＋４＋・・・＋2^(n-1) = 2^n - 1
であることが知られています．
３０日目だと，(2)式にn=30 を代入して 1,073,741,823 円，
ざっと１０億円ということですね．

pinga999 · Answer

こんばんわ＾＾

　　　初項１　公比２　の　等差数列で良いんじゃないかなぁ～!?
       
      だから、一般項は、２＾ｎ－１　（二のエヌ引く一乗）　でいいんじゃないかなぁ～

　　だから、これを、和の公式にあてはめて、、、

　　　　　　（２＾３０）－１
　　　　　――――――――――　これを計算すると出ると思いますよ＾＾
　　　　　　　　２－１

　　すみません、かなり自信ないです、この前も間違ってたし、、、、、、

den-den · Answer

一般項は，a_n=2^(n-1) ですから，合計は，

30
Σ 2^(n-1)
n=1

ですよね。あとは公式を使えば…。

noname#2970 · Answer

地道に計算して、ｎ日目にもらえるお金とｎ日目までにもらえるお金の合計金額を比較してください。
法則があります。

一日ずつ２倍の金額をもらい続けると・・

昔話で・・というのは一休さんあたりの話でしょう。

一休さんの話です。

２のべき乗計算ですね、

洋の東西を問わず，この種の話は昔からあります．

こんばんわ＾＾

一般項は，a_n=2^(n-1) ですから，合計は，

地道に計算して、ｎ日目にもらえるお金とｎ日目までにもらえるお金の合計金額を比較してください。

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