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A 回答 (3件)
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No.3
- 回答日時:
高校生ならば、
xが小さいときには
sin(x)/x がほとんど1に等しい
(x→0 のときの極限値は1)
を使って、
Δt が0 に近いならば
sin(ωΔt/2)/(ωΔt/2) が ほとんど1
これを、
sin(ωΔt/2)/(ωΔt/2) = 1
と書きましょう。(ほぼ等しいの記号が出ない)
分母を払って
sin(ωΔt/2)= (ωΔt/2) (この等号はほ、ぼ等しいの意味)
と考えれば良いと思います。
この回答への補足
社会人で勉強しているものです。
思いつかなかったのですがたしかに上記のようになります。
Δt→0は0に限りなく近づくけれど決して0にはなりませんから分母は0でなく、ちゃんと定義できる値ということになると考えることができます。(たぶん、くわしくないので確信は持てませんが。)
No.2
- 回答日時:
極限ではなくΔt≒0での近似ではないですか?
本当に極限をとってしまうと0になりますので。
xが十分小さいときsinx ≈ xです。
y = sinxのx = 0における接線を考えるとy = xとなり、
接点の周りではほぼ等しいという考えから近似が行えます。
物理では非常に小さい値を考えるとき、
その二乗以上の項は無視して考えることがよくあります。
例えば
xが十分小さい時 (1 + x)^α ≈ 1 + αxと近似したりします。
(1 + x)^αを二項展開して二次以上の項を無視すると下記のようになります。
(1 + x)^α = 1 + αC1・x + αC2・x^2 … + αCα・x^α + … ≈ 1 + αx
マクローリン展開(テイラー展開)で調べるのもよいとおもいます。
また、e^x, sinx, cosxのマクローリン展開を形だけでも知っておくと有利かと思います。
この回答への補足
今からそのマクローリン展開をちょっと勉強してみます。
ちなみにその物理の参考書は理解しやすいシリーズです。
交流と電磁波のところで誘導起電力v=BSωsinωtを導き出すときの途中の説明です。
No.1
- 回答日時:
まず、こちらのwebsiteをご一読されてはどうでしょうか。
http://chaosweb.complex.eng.hokudai.ac.jp/~josch …
http://chaosweb.complex.eng.hokudai.ac.jp/~josch …
三角関数は、マクローリン展開(テイラー展開)という方法で、xの何乗の和(多項式)で表すことができます。
さて、ここで質問者さんはx(= omega*deltat/2としてます)が0に近い、非常に小さい数の場合のことを問題にされてます。
ちょっと筆算すればわかりますが、0に非常に近い数(たとえば0.01でも良いです)の場合、xに比べ、xの二乗、三乗、(以下略)はオーダーが圧倒的に小さくなるので、”無視できる”ことになります。ほんまかいな?とお思いでしょうから、具体的にマクローリン展開の式にx = 0.01くらいを入れて計算してみると、ほとんど第一項(xの一次の項)だけで値が決まることがわかると思います。
なお、この理屈は三角関数の場合に限りません。
テイラー(マクローリン)展開してみる>xが小さければ、xの一次の項以外は非常に小さいから無視しても良かろう・・・というのは、他の素性が良い関数の場合にもよく出てくる理屈です。
なにかの加減で一次の項が消える、あるいは物理的な意味が無いのなら、次の二次の項を考えましょう。
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