京大入試ぃ～

ｐが素数ならば、ｐ⁴＋14は素数でないことを示せ

これを中3にもわかるように解説してください。お願いします

No.1 回答者： ひなげしのはな 回答日時： 2021/11/20 09:17

素数のとこからですか？

この回答へのお礼

素数は分かります。1とその数以外でわれない数ですよね？

お礼日時：2021/11/20 09:24

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/11/20 10:11

p=2、p⁴+14=30

p=3、p⁴+14=95

なのでp=3までは正しい。

p≧5のとき

p mod 3=0はpが素数ではない。
p mod 3=1 では (p⁴+14)mod 3=(1⁴+14)mod 3=0 で素数ではない。
p mod 3 =2 では (p⁴+14)mod 3=(2⁴+14)mod 3=0で素数ではない。

中3に説明するときは

p=3n+2のとき
p⁴=3⁴n⁴+4・3³・2n³ +6・3²・2²n²+4・3・2³・n+2⁴
の１～３個目の項は3の倍数だから p⁴ mod 3=2⁴ mod 3=1

というかんじに細かく説明しないと納得しないかも。

この回答へのお礼

あとでじっくり見ますね

お礼日時：2021/11/20 12:10

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/11/20 10:35

p^4+14

p=2の時p^4+14=2^4+14=30=2*3*5は素数でない
p=3の時p^4+14=3^4+14=95=5*19は素数でない

p≧5の時
pを3で割った商をn余りをkとすると
p=3n+k
nは自然数n≧1
k=0またはk=1またはk=2のどれかになるけれども
k=0と仮定するとpは3の倍数になりpが5以上の素数であることに矛盾するから
k=1またはk=2のどちらかになる
p=3n+1またはp=3n+2のどちらかになる

p=3n+1の時
p^2=(3n+1)^2=9n^2+6n+1=3(3n^2+2n)+1
↓k=3n^2+2nとすると
p^2=3k+1

p=3n+2の時
p^2=(3n+2)^2=9n^2+12n+4=3(3n^2+4n+1)+1
↓k=3n^2+4n+1とすると
p^2=3k+1

p^2=3k+1
↓両辺を2乗すると
p^4=3(3k^2+2k)+1
↓m=3k^2+2kとすると
p^4=3m+1
↓両辺に14を加えると
p^4+14=3m+15

p^4+14=3(m+5)
は
素数ではない

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2021/11/20 12:10

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/11/20 12:24

>の１～３個目の項

ちょっと修正

の１～4個目の項

この回答へのお礼

はい、わかりました

お礼日時：2021/11/20 12:37

No.5 回答者： usa3usa 回答日時： 2021/11/20 22:47

＞これを中3にもわかるように解説してください。

お願いします

「素数でないことを示せ」
でなく
「３の倍数であることを示せ」
なら自力で解けるのでは？

pが３で割って1余る場合と2余る場合について調べるだけですよ

この回答へのお礼

なるほど～。ありがとうございます

お礼日時：2021/11/20 23:01

No.6 回答者： usa3usa 回答日時： 2021/11/20 22:50

＞これを中3にもわかるように解説してください。

「素数でないことを示せ」を「３で割り切れることを示せ」に置き換えれば、自力で解けると思いますよ

ｐが3で割って１余る場合と２余る場合について調べればよいだけですよね。

この回答へのお礼

明日頑張ります。ありがとうございました

お礼日時：2021/11/20 23:01

No.7 回答者： rnakamra 回答日時： 2021/11/22 13:06

p=2,3の場合、素数でないことは代入して確認ができる。

p>4となる素数はすべてp=6k±1の形になる。
(6k,6k±2は全て偶数、6k+3は３の倍数)
これを代入して計算すればよい。3でくくれるようになる。

(2項定理を知っていればkを含む項の係数は全て6の倍数であることがわかる。定数項は(±1)^4+14=1+14=15=3*5となる)