数列が分からない

下記の問題の解き方が全く分からないので解き方を教えて下さい。お願いします。

(1)初項が4,公比が3の等比数列の初項から第100項までの和を求めなさい

(2)次の数列の一般項を求めなさい
2,5,12,23,38,57・・・

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2016/01/24 23:26

（１）初項が4、項比が3の等比数列は

　　4, 12, 36, 108, ・・・　an= 4 × 3^(n-1) ・・・　a100 = 4 × 3^99 ですね。
　これを初項から第100項まで足し合わせると、
　　S100 = 4 + 12+ 36 + 108 + ･･･ + 4 × 3^99 　　(A)

　これに各々３をかけると
　　12, 36, 108, 324, ・・・ 3 × an= 4 × 3^n ・・・ 3 × a100 = 4 × 3^100　ですね。
　　3 × S100 = 12+ 36 + 108 + ･･･ + 4 × 3^100　　　(B)

　従って、(B)-(A)は
　　2 × S100 = 4 × 3^100 - 4
となるので、
　　S100 = 2 × 3^100 - 2

　まあ、等比級数の公式（初項を a 、項比を r として）
　　Sn = a ( 1 - r^n ) / ( 1 - r )
で求めればよいのですが、それでは面白くないので、公式の求め方と同じやり方でやってみました。

（２）項差か、項比を求めてみることにしましょう。
・項差
　　3, 7, 11, 15, 19
　これを見ると、この数列が、「３+ 4(k-1) の数列」であることが分かります。

　つまり「初項が2、項差が 3 + 4(k-1) の数列」です。従って一般項は、
　　a1 = 2
n ≧ 2 に対して
　　an = 2 + Σ(k=1～n-1)[ 3 + 4(k-1) ]
　　　 = 2 - (n-1) + 4 × Σ(k=1～n-1)k
　　　 = 3 - n + 2 × (n-1)n
　　　 = 3 - n + 2n^2 - 2n
　　　 = 2n^2 - 3n + 3

　検算すると
　　a2 = 5
　　a3 = 12
　　a4 = 23
　　a5 = 38
　　a6 = 57

　大丈夫みたい。

この回答へのお礼

細かく解き方を説明してくださりありがとうごさいました。この方法を使って他の問題も解いてみたいと思います。

お礼日時：2016/01/24 23:42

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2016/01/24 23:16

見ずらいので、書き直した。

(1)
初項がa、等比がr、　項数n　の等比数列が次の様に書ける
a, ar, ar^2, ar^3, ・・・・・, ar^(n-1)

この列の和をSnとすると
① Sn = a + ar + ar^2 + ar^3, ・・・・・, + ar^(n-1)
両辺にrを掛けると
② rSn = ar + ar2^2 + a^3, ・・・・・, + ar^(n-1) + ar^n

② - ①　より　
Sn(r - 1) = ar^n - a = a(r^n - 1)
Sn = a(r^n - 1)/(r - 1)

a=4 r=3 n=100 を代入すると

S100 = 4(3^100 - 1)/(3 - 1) = 2(3^100 - 1)
=515,377,520,732,011,331,036,461,129,765,621,272,702,107,522,000


(2) 2, 5, 12, 23, 38, 57・・・

第n+1項　- 第n項を計算して並べると
3, 7, 11, 15, 19・・・・となり、第一階差数列が初項３で階差4の等差数列

また
5=2+3 12=2+3+7 23=2+3+7+11、・・・・と成っている

つまり、元数列のn項目 = 初項　+　第一階差数列のn-1項までの和

第一階差数列の一般項は3+4(k-1)となるから

元数列の一般項=2 + Σ（3+4(k-1))　=　2 + Σ(4k - 1)[k=1～n-1]
=2 + 4Σｋ - Σ1[k=1～n-1]　

Σk = k(k+1)/2 であるから kにn-1を代入すると

元数列の一般項n = 2+ 4(n-1)n/2 -(n-1)
= 2n2 - 3n + 3

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2016/01/24 23:05

概略は以下