次の条件によって定められる数列anの一般項を求めよ お願いします！

次の条件によって定められる数列anの一般項を求めよ

お願いします！

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2017/10/06 14:06

隣接3項間型の漸化式であり

a n+2ーa n+1=(ー1/3)(a n+1ーa n)=(ー1/3)^n-1
であるから、指数型なので、両辺を指数で割って、特性方程式から、
a n+1 ー9/4=ー3(a nー9/4)から求められる。

尚、 離散的ラプラス変換からなら簡単だが、勉強不足で御免！

No.2 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2017/10/06 11:32

3a(n+2)=2a(n+1)+a(n)　を

a(n+2)－a(n+1)=α(a(n+1)－a(n))　に変形する。

b(n)=a(n+1)－a(n)　･････ ①　とおくと

b(n+1)==αb(n) となり、数列{b(n)}は、初項　b(1)=a(2)－a(1)=2－1=1、公比　α　の等比数列

b(n) の一般項を求め、①に代入する。

①より、数列{b(n)} は、数列{a(n)} の階差数列だから、

n≧2 のとき
a(n)=a(1)+Σ[k=1, n-1]b(k)

を用いて数列{a(n)} を求めればよい。

求めた　a(n)　が、n=1　のときにも使えるかどうか確認する

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2017/10/06 11:29

これは、一般的な「当たりをつける」やり方として、

　3a(n+2) - 2a(n+1) - a(n) = 0　　　①
を
　a(n+2) - α*a(n+1) = β*[ a(n+1) - α*a(n) ]
のような形にすることを考えます。これを展開すれば
　a(n+2) - (α + β)*a(n+1) + α*β*a(n) = 0
なので、これは①を
　3x^2 - 2x - 1 = 0　　　②
のような方程式にした場合の2つの解 α、β を求めることに相当します。

②より
　(3x + 1)(x - 1) = 0
となって、解が x= -1/3, 1 になります。

ということで2つの解 α、β を相互に逆に使って、
　a(n+2) + (1/3)a(n+1) = a(n+1) + (1/3)(n)　　　③
　a(n+2) - a(n+1) = -(1/3)[ a(n+1) - a(n) ]　　　④
と書けることが分かります。各々3倍すれば①に一致します。

③より、b(n) = a(n+1) + (1/3)a(n) とおけば
　b(n+1) = b(n)
で、n≧1 で「同じ数が並ぶ」数列ということになります。ここで
　b(1) = a(2) + (1/3)a(1) = 2 + 1/3 = 7/3
なので、
　b(n) = 7/3
ということになります。つまり
　a(n+1) + (1/3)a(n) = 7/3
通分して
　3a(n+1) + a(n) = 7　　　⑤

一方、④よりb(n) = a(n+1) - a(n) とおけば
　b(n+1) = -(1/3)b(n)
で、n≧1 で「公比 (-1/3) の等比数列」ということになります。ここで
　b(1) = a(2) - a(1) = 2 - 1 = 1
なので、
　b(n) = (-1/3)^(n - 1)
ということになります。つまり
　a(n+1) - a(n) = (-1/3)^(n - 1)　　　⑥

⑤ - ⑥×3 より
　4a(n) = 7 - 3(-1/3)^(n - 1)
よって
　a(n) = 7/4 - (3/4)(-1/3)^(n - 1)

検算すれば
　a(1) = 7/4 - 3/4 = 1
　a(2) = 7/4 + 1/4 = 2
　a(3) = 7/4 - 1/12 = 20/12 = 5/3
で合っているようです。