数学の質問です。 a1＞4 として漸化式an+1＝√an＋12 で定められる数列｛an}を考える。

数学の質問です。
a1＞4 として漸化式an+1＝√an＋12 で定められる数列｛an}を考える。
(1)、(2)で、an＞4, an＋1－4＜1/8×(anー4) が成り立つことを証明しました。(3)でlim n→∞ an を求める際、解答が
an＋1＜1/8(an－4)＜1/8×1/8(an-2－4)･･･
＜(1/8)∧1/n (a1－4) となり、はさみうちの定理で
0＜an＜(1/8)∧1/n (a1－4) ･･･①
より極限を求めているのですが、(3)の問題文の＜を＝に変えて出来た漸化式を解いた数列{an}の一般項が、①の1番右の式と同じになります。そこで、数列{an}の一般項と①の不等式の1番右の式との間に関連性があるのではと考えているのですが、なぜかそうなるのか分かりません。くだらないことで悩んでいるとは思いますが、ご教授お願いします。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/10 08:46

(2)の問題文の＜を＝に変えて出来た漸化式を解いた数列

の誤字かな？

a1 = A1 > 4,
a[n+1] = √( a[n] + 12 ),
A[n+1] - 4 = (1/8)( A[n] - 4 ).
で数列 A[n] を定めると、

0 < a[n] - 4 < A[n] - 4 が成り立つから、
lim[n→∞] A[n] - 4 = lim[n→∞] (a[1] - 4) (1/8)^(n-1) = 0 より
ハサミウチの定理で lim[n→∞] a[n] - 4 = 0 が言える。

君の言ってることは、解答の趣旨そのものだよ。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/09 20:05

画像の通り

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/07/09 19:13

尻滅裂なので回答のしようもないがあえて

>an＋1＜1/8(an－4)＜1/8×1/8(an-2－4)･･･
＜(1/8)∧1/n (a1－4) となり、はさみうちの定理で
0＜an＜(1/8)∧1/n (a1－4) ･･･① <

●
a[n＋1]-4＜(1/8)(an－4)＜(1/8)²(a[n-1]-4)･･･
＜(1/8)ⁿ (a₁－4) となり、はさみうちの定理で
0＜a[n]-4＜(1/8)ⁿ⁻¹ (a₁－4) ･･･①

と思う。

>(3)の問題文の＜を＝に変えて出来た漸化式・・・<
●(3)の問題文に < は無い。(2)と思うが、論理が同じだから当然。
自覚している通りくだらないことは考えないことです。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2024/07/09 19:35