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この平行移動によってどうして3次と1次の項以外が消去できるのですか

「この平行移動によってどうして3次と1次の」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 平行移動によってax^3+bx^2…の2と0次の項がどうして消去できるのかです。2字方程式の因数分解的なノリが三次方程式にも適応できるのでしょうか。またax^3のみではすべての三次方程式を表せないと思うのですがそこのところはどうなっているのでしょうかと言うことが聞きたかったのです。舌足らずですみません。

      補足日時:2019/02/06 20:53

A 回答 (4件)

y = ax^3+bx^2+cx+d を平行移動して x'=x+t, y'=y+u とすると、


三次関数の式は y'-u = a(x'-t)^3+b(x'-t)^2+c(x'-t)+d すなわち
y'= a(x')^3 + (-3at+b)(x')^2 + {3at^2-2bt+c}(x') + (-at^3+bt^2-ct+d+u)
に移ります。2次項が消えるように t=b/(3a)、定数項が消えるように
u=at^3-bt^2+ct-d を選ぶことができますね。このとき1次の係数
{3at^2-2bt+c} は、a,b,c,d のなかなか複雑な式になるのですが、
ともかくこれを p と置いてしまうと、移動後の式は y'=a(x')^3+p(x') です。
平行移動しても係数 p は消えなくて、三次関数のグラフの形を決める
係数として残るということです。ax^3のみではすべての三次方程式を
表せない...そのとおりです。だから p の値によってグラフの形を考える
必要があるのです。大切な点です。
y = ax^3+bx^2+cx+d を y'=a(x')^3+p(x') へ移すような平行移動の
t,u を決めるとき、移動後の式の2次の係数と定数項のみを見れば
決めることができたことを覚えていてください。それ以外の中央の項の
係数は {何か} と考えておけばよかったのです。この技法は、三次より
高次の一般の多項式を扱うときにも用いるテクニックです。
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y=ax^3+bx^2+cx+d


に対して
(x,y)を
X=x+b/(3a)
Y=y-d-2b^3/(27a^2)+bc/(3a)

平行移動すると

x=X-b/(3a)
y=Y+d+2b^3/(27a^2)-bc/(3a)
だから
これを
y=ax^3+bx^2+cx+d

xにX-b/(3a)を代入
yにY+d+2b^3/(27a^2)-bc/(3a)を代入
すると

Y+d+2b^3/(27a^2)-bc/(3a)
=a{X-b/(3a)}^3+b{X-b/(3a)}^2+c{X-b/(3a)}+d
=aX^3-bX^2+bbX/(3a)-b^3/(27a^2)+bX^2-2bbX/(3a)+b^3/(9a^2)+cX-bc/(3a)+d
=aX^3+{c-bb/(3a)}X+2b^3/(27a^2)-bc/(3a)+d

Y=aX^3+{c-bb/(3a)}X
↓p=c-bb/(3a)とすると
Y=aX^3+pX
↓Yをy,Xをyに置き換えると

y=ax^3+px
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何を証明しているのかが分かりませんが



平行移動して、二次の項と定数項を消す と書いてあるのですから、消えるようにt=x-kのkを決めてy=at^3+ptとしています

そのようなkが存在するかについては、2つの方程式(展開したときに二次と零次の係数=0)に対して一つの変数(k)なので解はあります

原点を通る、原点対称な三次曲線はax^3+pxで全て表されます
(二次と零次が存在すると原点対称にならない)
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変曲点の意味は分かりますか。


教科書に書いてありませんか。
https://mathtrain.jp/henkyokuten
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