数列の問題

以下のような数列がある。
9，99，999，9999，99999，999999，9999999，・・・
この数列の第1項から第999項までの和を求めたとき、その和には
いくつの1が出現するか。
という問題なのですが。
9+99=108
9+99+999=1107
9+99+999+9999=11106
となり、（項数-1）で答えは998になると考えたのですが
回答では999です。考え方が間違っているのでしょうか？

No.3 回答者： good777 回答日時： 2006/12/31 19:35

■解法■

（10＋100＋1000＋・・・＋1000・・・0）－999
＝11111・・・110－999
＝11111・・・110－1000＋1
＝11111・・・10111
よって，999



■類題■
以下のような数列がある。
9，99，999，9999，99999，・・・
この数列の第1項から第9項までの和を求めたとき、その和には
いくつの1が出現するか。

■解法■
9＋99＋999＋9999＋99999＋・・・[phone]
＝（10＋100＋1000＋10000＋100000＋・・・[phone]
＝1111111110－10＋1
＝1111111101
★答え★　9

No.2 回答者： oyamala 回答日時： 2006/12/31 14:55

推測しただけでは回答になりませんから、

答えに至る理論が必要になるかと思います。

まず、この数列の一般項は 10^n -1 で表されます。
そうすると第n項までの和は
111・・・・（ｎ個続いた後に)0 - n　となります
111・・・・・・・11110 - n です、ここまではよろしいでしょう。
そうすれば、あとは999項目を考えます
111・・・・・10 (全部で1が999個)　- 999　です。
あとは下から4桁目だけに注目すると
1110-0999=0111　となり、999引いても1の数は変わらず999個ということになります。

No.1 回答者： edomin 回答日時： 2006/12/31 14:48

もう少し進めば判ると思うのですが、

９＝９
からスタートして
９＋９９＝１０８
１０８＋９９９＝１１０７
１１０７＋９９９９＝１１１０６
１１１０６＋９９９９９＝１１１１０５
１１１１０５＋９９９９９９＝１１１１１０４
と計算していくと９項目、１９項目、２９項目の一の位は「１」になります。
なので、９９９項目の一の位も「１」なんです。