数学的帰納法でn≦k→n=k+1の場合(人生帰納法）

正の項からなる数列{an}がすべての自然数nに対して次の等式を満たすとき、一般項anを求めよ。

(a1+a2+・・・・・・・・・・・+an)^2 = a1^3 + a2^3 +・・・・・・・・・・・・・+an^3

an=n---①と推測して、n=1で成立をいったあと、
n≦kで①が成立すると仮定すると、n=k+1でa(k+1)=k+1となることを示す。

この問題は有名問題のようでチャート式やFocusGoldにも類問があり、http://examist.jp/mathematics/induction/jinsei-k …　でも紹介されています。

①掲載ないし紹介されている典型的な解法
いずれの解き方でも
(a1+a2+・・・・・・・・・・・+a(k+1))^2 = a1^3 + a2^3 +・・・・・・・・・・・・・+a(k+1)^3→a(k+1)=k+1
とコールバック的(?)に導く。

②私の考え＝以下のような直截的解法は不可なんでしょうか？？
すなわち
n≦kでan=nが、(a1+a2+・・・・・・・・・・・+an)^2 = a1^3 + a2^3 +・・・・・・・・・・・・・+an^3を満たすと仮定する。
このときn=k+1で(a1+a2+・・・・・・・・・・・+a(k+1))^2 = a1^3 + a2^3 +・・・・・・・・・・・・・+a(k+1)^3が成立する。
よって、an=nがすべての自然数nに対して(a1+a2+・・・・・・・・・・・+an)^2 = a1^3 + a2^3 +・・・・・・・・・・・・・+an^3を満たす。

②のような解法は数学的にNGなんでしょうか？？直感的には②のほうが分かりよいし、むしろよくある解法かとは思うのですが、、なぜ回りくどい①の解法が掲載ないし紹介されているのでしょうか？！

このあたりの事情について、ご案内の方、よろしくご教示くださいませ。

No.1 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/08/23 00:13

その「直截的解法」が何をいっているのかわからない. 特に

「このときn=k+1で(a1+a2+・・・・・・・・・・・+a(k+1))^2 = a1^3 + a2^3 +・・・・・・・・・・・・・+a(k+1)^3が成立する。」
からどうして
「an=nがすべての自然数nに対して(a1+a2+・・・・・・・・・・・+an)^2 = a1^3 + a2^3 +・・・・・・・・・・・・・+an^3を満たす。」
につながるのかさっぱりわからん.

あと, この問題は (結論的には)
全ての n に対して (a1 + ... + an)^2 = a1^3 + ... + an^3 を満たすなら全ての n で an = n
を示すというものであって,
全ての n に対して an = n なら全ての n で (a1 + ... + an)^2 = a1^3 + ... + an^3 を満たす
ことを示すものじゃない, ってことは認識できてる?

この回答へのお礼

早々のご返答ありがとうございました。

＞全ての n に対して (a1 + ... + an)^2 = a1^3 + ... + an^3 を満たすなら全ての n で an = n
＞を示すというものであって,
＞ 全ての n に対して an = n なら全ての n で (a1 + ... + an)^2 = a1^3 + ... + an^3 を満たす
＞ ことを示すものじゃない, ってことは認識できてる?

上記の認識が甘かったようです。

チャート式等の模範解答だと「(a1 + ... + an)^2 = a1^3 + ... + an^3 を満たす→全ての n で an = n」と一意に決まる。けど、 「an = n →全ての n で (a1 + ... + an)^2 = a1^3 + ... + an^3 」といえたとしても逆は真ならずだし、他の解があるかもしれない。。かな。。

いずれにせよ、問題文の厳密な読みができていませんでした。

今後ともよろしくお願いします。

お礼日時：2016/08/23 14:46