No.2ベストアンサー
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数列を定義する方法に、漸化式があります。
例えば公差dの等差数列はx[n+1]=x[n]+d__①
初項x[1]=a__②
公比rの等比数列は③④のように書きます。
x[n+1]=rx[n]__③
初項x[1]=a__④
式①や③はx[n+1]とx[n]との関係を表すから、2項間の漸化式です。
3項間の漸化式の例では、フィボナッチの数列は⑤となります。
x[n+1]=x[n]+x[n-1]__⑤
x[1]=1,x[2]=1とすると、1,1,2,3,5,8,・・・という数列になります。
同じ⑤を⑥のように書くこともあります。
x[n]=x[n-1]+x[n-2]__⑥
③⑤⑥は、左辺も右辺もx[n],x[n+1],x[n-1],x[n-2],等の1次式になっています。1次式になっていることを線形といいます。線形のときは一般項が求めやすく、
等比級数の時のようにx[n]=r^nと置くとできる。3項間の漸化式の時は、rの2次方程式が出るので、その解をp,qとすると、一般項x[n]=Pp^n+Qq^nとなる。P,Qは初項と第2項に合わせてきめればよい。
式①は、x[n]の1次式であるが、定数項dが付いているので線形ではない、上記の一般項を求める方法がそのままでは使えないので、線形ではないことになっている。定数項が無ければ、比例関係になっている。(xの付く項をすべて定数倍してもそのまま式が成り立つ)これを線形という。
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