高二数学、数列の問題です。1つ目の四角で囲んでるところはrを掛けてるとこでどうしてこの式になるのかが

高二数学、数列の問題です。1つ目の四角で囲んでるところはrを掛けてるとこでどうしてこの式になるのかが分かりません。それと2つ目の四角で囲んでるところの、等差数列の和の公式を使うのですが、どうしたらこの式になるのかが分かりません。

No.4 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/10 14:50

ひとつめ：

各項に r を掛けています。
1 + 2r + 3r^2 + 4r^3 + ... + (n-1)r^(n-2) + nr^(n-1)
に r を掛けると、
ｒ・｛ 1 + 2r + 3r^2 + 4r^3 + ... + (n-1)r^(n-2) + nr^(n-1) ｝
= ｒ・1 + ｒ・2r + ｒ・3r^2 + ｒ・4r^3 + ... + ｒ・(n-1)r^(n-2) + ｒ・nr^(n-1)
= r + 2r^2 + 3r^3 + 4r^4 + ... + (n-1)r^(n-1) + nr^n
です。

ふたつめ：
等差数列の和の公式を使っています。
1 + r + r^2 + r^3 + ... + r^(n-1) = (1 - r^n)/(1 - r).
これは公式どおりです。よって、
(1 + r + r^2 + r^3 + ... + r^(n-1)) - nr^n = (1 - r^n)/(1 - r) - nr^n.

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/07/10 14:34

1+2r+3r²+・・・nr^(n-1)は　等比数列ではありませんが

「公比もどき」の「ｒ」が存在しますよね
このような公比もどきがあるときは　両辺に公比もどきを掛け算するのが良い作戦です
というのも以下のように　SnとrSnをrの項、r²の項r³の項・・・というようにそろえて書いて筆算（引き算すると)すると

　　　Sn=１＋２ｒ＋３ｒ²+４ｒ³＋・・・＋(n-1)r^(n-2)＋nr^(n-1)
　　ｒSn＝　　１ｒ＋２ｒ²＋３ｒ³＋・・・・・・・・・・+(n-1)r^(n-1)＋nr^(n)
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Sn-(rSn)=１＋ｒ　＋　ｒ²＋　ｒ³＋・・・・・・・・・・＋　r^(n-1)　　- nr^(n)

というように公比ｒの等比数列が登場してくれるようになるからです　
ちなみに、nr^(n-1)-(n-1)}r^(n-1)の欄は　r^n-1がｎ個あるところから　n-1個分を引き算しているので　残りのr^(n-1)は１個分ということで
下段にr^(n-1)が現れます

また、問題文のSnの式には省略されている　(n-1)r^(n-2) の項も書き出しておけば
これをr倍したrSn=の式には
{(n-1)r^(n-2)}xr=(n-1)r^(n-1)
と
{nr^(n-1)}xr=nr^(n)
が登場することが理解できるはずです
なお、r^(n-2)は　ｒをn-2個並べて掛け算したものですから、
これにrを掛ければｒの並びがn-2+1=n-1個となるんでrをn-1個掛け算することになって　{r^(n-2)}xr=r^(n-1) です
{(n-1)}xr=r^(n) も同じ考え方

さて　筆算の結果　Sn-rSnの欄は　
１＋ｒ　＋　ｒ²＋　ｒ³＋・・・・・・・・・・＋　r^(n-1)　　-nr^(n)　となりましたが
右端を取り除けば
１＋ｒ　＋　ｒ²＋　ｒ³＋・・・・・・・・・・＋　r^(n-1)　は
初項r１公比rという等比数列をr^(n-1)まで並べて＋記号で結んだ形となっていますよね
すなわち　等比数列の和となっています
で、r¹からr²　、r³・・・rのn-1乗まで足し算しているので　乗数部分を見て
ｒ　＋　ｒ²＋　ｒ³＋・・・・・・・・・・＋　r^(n-1)　には全部でn-1項あることがわかります
これに１を加えれば　n項の和であるとわかるのです
そこで等比数列の公式
n項までの等比数列の和＝初項ｘ[1-{(公比)^n}]÷(1-公比)を利用すれば
１＋ｒ　＋　ｒ²＋　ｒ³＋・・・・・・・・・・＋　r^(n-1)＝等比数列の和=1x{1-(r^n)}÷(1-r)
={1-(r^n)}/(1-r) となるのです

取り除いた右端も付け加えて

Sn-rSn=(1-r)Sn=等比数列の和-nr^(n)
=[{1-(r^n)}/(1-r) ]-nr^(n)となります

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2020/07/10 10:57

Sn=1+2r+・・・・＋(n-1)r^(n-2)+nr^(n-1) と最後から１桁目まで書くと分かり易いです。

これをｒ倍すると
rSn=r+2r²＋・・・・＋(n-1)r^(n-1)+nr^n となります。

等比級数の和Ｓ’ｎ＝１＋ｒ＋ｒ²＋ｒ³＋・・・・・r^(n-2)＋ｒ^(n-1)　・・①
も同じくｒ倍して
rS'n=r+ｒ²＋ｒ³＋・・・・・＋ｒ^(n-1)+r^n・・②
①－②＝(1-r)S'n=1-r^n
S'n=(1-r^n)/(1-r)
よって、
(1-r)Sn=(1-r^n)/(1-r)-nr^n

となります。

No.1 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/07/10 10:48

Sn=1+2r+3r^2+……+(n-1)r^(n-2)+nr^(n-1)

rSn=r+2r^2+3r^3+……+(n-1)r^(n-1)+nr^n

(1-r)Sn={1+r+r^2+r^3+……+r^(n-1)}－nr^n
{1+r+r^2+r^3+……+r^(n-1)}は、初項１、公比ｒ、項数ｎの等比数列（等差数列ではありません）の和です。
ｒ≠1 ですから、
{1+r+r^2+r^3+……+r^(n-1)}=1(1－r^n)/(1－r) =(1－r^n)/(1－r)
よって、
(1-r)Sn=(1－r^n)/(1－r) －nr^n