a1,a2, a3をベクトル空間Vのベクトルとする。a1+a2,a2+a3,a3+a1が一次独立のと

a1,a2, a3をベクトル空間Vのベクトルとする。a1+a2,a2+a3,a3+a1が一次独立のとき、a1,a2,a3も一次独立であることを示せ。

自分の解答

c1、c2、c3∈Rに対して、
c1(a1+a2)+c2(a2+a3)+c3(a3+a1)=0
とすると、

一次独立より、この式を満たすのは、
c1=c2=c3=0
となるときだけ。

また、変形すると、
(c3+c1)a1+(c1+c2)a2+(c2+c3)a3=0
であるから、

c1=c2=c3=0
より、
c3+c1=0、c1+c2=0、c2+c3=0
だから、
a1,a2,a3は一次独立。

この解答は合っていますか？
回答よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/10/02 17:24

その解答は合っていません

任意の
x1,x2,x3∈Rに対して、
x1a1+x2a2+x3a3=0
ならば
x1=x2=x3=0
となる事をしめさなければ
a1,a2,a3が一次独立を示したことにはなりません

x1,x2,x3∈Rに対して、
x1a1+x2a2+x3a3=0
とする
c1=(x1+x2-x3)/2
c2=(x2+x3-x1)/2
c3=(x1-x2+x3)/2
とする
c1(a1+a2)+c2(a2+a3)+c3(a3+a1)
=(1/2){(x1+x2-x3)(a1+a2)+(x2+x3-x1)(a2+a3)+(x1-x2+x3)(a3+a1)}
=(1/2)(2x1a1+2x2a2+2x3a3)
=0
だから
一次独立より、
c1=c2=c3=0
となるから
c1=(x1+x2-x3)/2=0
c2=(x2+x3-x1)/2=0
c3=(x1-x2+x3)/2=0
x1+x2-x3=0…(1)
x2+x3-x1=0…(2)
x1-x2+x3=0…(3)
(1)+(3)から
2x1=0
x1=0
(1)+(2)から
2x2=0
x2=0
(2)+(3)から
2x3=0
x3=0
x1=x2=x3=0
だから
a1,a2,a3は一次独立

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時：2022/10/06 08:59

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/10/02 18:54

微妙。

パッと見、間違ってるようにしか見えないんだが、
よく考えると実は合っているのかもしれない。

a1, a2, a3 が一次独立であることを示すには、
一次独立の定義に基づいて
スカラー b1, b2, b3 が
b1 a1 + b2 a2 + b3 a3 = 0 を満たすならば
b1 = b2 = b3 = 0 であることを示せばいい。

質問文中の証明は、
スカラー c3+c1,c1+c2,c2+c3 が
(c3+c1)a1 + (c1+c2)a2 + (c2+c3)a3 = 0 を満たすならば
c3+c1 = c1+c2 = c2+c3 = 0 であることを正しく示している。

問題点は、b1 = c3+c1, b2 = c1+c2, b3 = c2+c3　←[＊]
という置き換えが十分一般的か？ ということだろうが...
[＊] は実際 c1, c2, c3 の連立方程式として解けてしまうので問題ない
のだが、そのことを明記しないといけないのかもしれない。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時：2022/10/06 08:59