漸化式の問題です。

a1＝1、an+1＝2an-3n(n＝1、2、3、、、)で定められた数列｛an｝がある。
bn＝an+1-anとおくとき、bn+1とbnの関係式を求めなさい。
どのようにしたらいいか全く分かりません。
どなたかお願いします！

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/06/23 00:51

ちょっと確認ですが, その bn が an の「階差数列」というものであるというのは認識できているでしょうか?

No.2 回答者： tekcycle 回答日時： 2016/06/23 07:39

0.

どのようにしたら良いかは、ケースバイケースなので、何もせずに直ちに判るわけではありません。
公式がぁ解法がぁというのは卒業しましょう。
基本は、試行錯誤です。試して行って、錯覚して誤るんです。一発で成功しようなどと虫の良いことを考えないこと。

1.
ｎ＝１，２，３，４，５
などと具体的に数値を入れてみて、ａn、ｂnの様子を見る。手と頭を動かしてみる。

2.
ダメ元で、ａ(n+1)-ａnを計算してみる。
比較的スッキリした形に収まるのであれば、ｂ(n+1)も計算してみて、何か見えないか試行錯誤してみる。

正解は出ないかもしれないけれど、何をしたら良いか判らないということは無い。
何かしてあれば、記述式でなら部分点が貰える可能性が。
何かをやってみて、失敗して、それで身に付けて下さい。
試行錯誤もせず、失敗もせず、解法だけ丸暗記すれば問題を見て答えが浮かぶはずだ、というのは、ある種の天才君に限られるでしょう。

直感ですが、ｂnとｂ(n+1)の式をａnの式で表せないかな、と。

No.3 回答者： kattun175 回答日時： 2016/06/23 09:29

anだと、a×nなのか、aの添字がnなのか区別しにくいので、添字は()に入れて、a(n)のように書きます。

a1=1
a(n+1)=2a(n)-3n ・・・・ア
a(n+2)=2a(n+1)-3(n+1)・・イ
(イ)ー(ア)で、
a(n+2)-a(n+1)=2(a(n+1)-a(n))-3(n+1-n)
最後の項（3(n+1-n)）を計算して、
a(n+2)-a(n+1)=2(a(n+1)-a(n))-3・・・・・ウ

ここで、
b(n)=a(n+1)-a(n)・・・・・エ
だから、
b(n+1)=a(n+2)-a(n+1)・・オ

エ、オをウに代入して、
b(n+1)=2b(n)-3

漸化式の場合、差をとることで、余分な項を単純にしてさらには消してしまうことは基本テクです。

No.4 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2016/06/23 09:46

どんな場合にも通用する「こうしたらよい」などという解は存在しないのが普通です。

いろいろしゃかりきにやってみて、何とか出口が見えてくるものです。そういう「汗かき」を数多く経験することで、「勘」と「度胸」を養うのです。

かっこいい、一発芸・トリックのような解法を求めてはいけません。地道に泥臭く、執念で解いていくことを心がけましょう。

今回の場合には、bn+1とbnの関係が求められているので、とりあえず具体的に何項か書いてみましょうよ。

　b(n+1) = a(n+2) - a(n+1)
　b(n) = a(n+1) - a(n)

a(n+1) ＝2a(n) - 3n (n＝1, 2, 3, ･･･) が与えられているので、これで書けば

　b(n+1) = [ 2a(n+1) - 3(n+1) ] - a(n+1) = a(n+1) - 3(n+1)
　b(n) = a(n+1) - a(n) = [ 2a(n) - 3n ] - a(n) = a(n) - 3n

なんか、b(n+1) は「n+1」で、b(n) は「n」で表記できましたね。これは行けそうな予感。
ためしに引き算してみると
　b(n+1) - b(n) = a(n+1) - a(n) - 3

あれ？　「 a(n+1) - a(n)」って「b(n)」だよね？　ということで
　 b(n+1) - b(n) = b(n) - 3

移項すれば
　b(n+1) = 2b(n) - 3

以上は、「こうやればこうなる」と確信をもって進めたわけではなく、とにかく「やってみたらこうなった」ということです。おおむね、そんなやり方で解けます。