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タイトルの通りです。
1/1+1/2+1/3+...+1/100 はどう計算すればよいのでしょうか?

A 回答 (10件)

(No.9の続きです)


なおこの方法を使えば、例えば第1000項までの和の近似値を求めることも筆算で可能です。

S"=1/11+1/12+…+1/999+1/1000 とおき、この3項ずつの置き換えによる近似を4回行えば
S"≒4S-(1475393/205744) となりますので、
求める第1000項までの和の近似値は
5S-(1475393/205744)≒5*2.929-7.171=7.474…  

この1/1から1/1000までの和をパソコンで計算させると7.4854…となりました。
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この回答へのお礼

何度も細かな説明を有難うございました。

お礼日時:2012/03/08 16:21

No.6&8です。

誤記の訂正と補足をさせてください。

まずNo.6の訂正です。

(誤)まずS=1/1+1/2…+1/10として、最初の10項の和を正直に計算しますと、S=7129/2520=2.928968…となりました。

(正)まずS=1/1+1/2…+1/10として、最初の10項の和を正直に計算しますと、S=7381/2520=2.928968…となりました。

次に、コンピューターの計算ソフトの力を借りずに筆算で比較的簡単に総和の近似値を求める別の方法を考えました。

最初の10項だけは正直に計算するところは、これまでの回答と同じですが、ポイントは、
「残りの項は適当に3項ずつまとめて、(1/n-1)+1/n+(1/n+1)≒3/n と次々に置き換えて、可能な限り最初の10項の和で表す」ということです。

(1/n-1)+1/n+(1/n+1)-3/n=2/(n*(n^2-1))>0 なのでこの置き換えで求めた近似値は真の値よりも小さくなります。

S'=1/11+1/12+1/13+…1/99+1/100 とおき、上記の置き換えを実行しますと
S'≒3*1/12+3*1/15+3*1/18…+3*1/96+3*1/99 となりますが、分母はすべて3の倍数なので約分して
S'=1/4+1/5+1/6+…1/32+1/33となります。1/11以降の項をさらに置き換えれば
S'≒1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10+3*1/12+3*1/15+3*1/18…+3*1/30+1/32+1/33となり、約分してまとめれば
S'=2*(1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10)+1/32+1/33 これに上記のSを代入すれば
S'=2*(S-(1/1+1/2+1/3))+65/1056
=2S-(1269/352)

求めたい100項の和は
S+S'=3S-(1269/352) なので 上記のSの値を代入すれば
S+S'≒3*2.9289-3.6051=5.1816… これはエクセルで計算させた5.1873775…と比較しても相当良い近似値だと思います。

この方式の利点は、(1/n-1)+1/n+(1/n+1)-3/n=2/(n*(n^2-1)) の式から、置き換えたことによる近似値と真の値との差を比較的簡単に計算できることだと考えます。
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No.6です。

概算(近似値を求める)別の方法を考えてみました。

1/1から1/10までの10項の和を求めるところまでは、前の回答と同じです。

(3)等差数列で近似値を求める

1/11以降の90項の和(の上限)について、10項ずつの等差数列の和で近似することを考えます。例えば1/11から1/20までの10項を初項1/11、末項1/20の等差数列とすると、10項の和は10(1/11+1/20)/2=31/44 となります。y=1/x のグラフを考えれば明らかなように、1/11+1/12…1/20の正しい値はこの等差数列の和より小です。

以下、同様に10項ずつ等差数列として計算した部分和は(31/44),17/42,71/248,91/410,37/204,131/854,151/1136,19/162,191/1820 となり、これをすべて加えますと2.30746…となります。

これに、1/1から1/10までの和2.928968…を加えると、求めたい100項の和は5.2364…より小さいことがわかります。前の回答の積分による方法に近い値が求められました。
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簡単に行うにはA1セルに次の式を入力してA100セルまでオートフィルドラッグします。



=1/ROW(A1)

最後に例えばB1セルに  =SUM(A1:A100) を入力すれば計算結果が表示されますね。
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筆算による概算を試みました。


まずS=1/1+1/2…+1/10として、最初の10項の和を正直に計算しますと、S=7129/2520=2.928968…となりました。

次に、残りの90項は2通り考えました。

(1)積分を使わない方法
10個ずつまとめます。最初の10項の和 、1/11+1/12+…1/20は明らかに1/20の10倍より大きく1/10の10倍よりは小さい
次の1/21+1/22+…1/30は明らかに1/30の10倍より大きく1/20の10倍よりは小さい
以下同様に続けますと
1/91+1/92+…1/100は明らかに1/100の10倍より大きく1/90の10倍よりは小さい

これをまとめて加えますと、残りの90項の和である1/11+1/12+…1/99+1/100は(1/20+1/30+…1/100)の10倍よりは大きく(1/10+1/20+…1/90)の10倍よりは小さいことがわかります。

ここでS=10(1/10+1/20+1/30+…+1/90+1/100)なので残りの90項の和はS-1よりは大きくS-1/10よりは小さいことがわかります。最初の10項の和Sを加えますと求めたい100項の和は2S-1(≒4.85)よりは大きく2S-1/10(≒5.75)よりは小さいことがわかりました。

(2)積分を使う方法
後の90項の和をS’とします。
y1=1/(x+1)とy2=1/xのグラフを考えると、求めるS’は明らかに、y1をx=10からx=100まで積分した値よりは大きく、y2を同じ区間だけ積分した値よりは小さいことがわかります。

前者はln101-ln11(≒2.2172)、後者はln100-ln10(≒2.3025)ですので、S=2.9289…を加えて求める100項の和は、5.146より大きく5.232よりは小さいことがわかります。

なおエクセルで計算してみたところ5.1873775…となりました。
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これまでの回答とまるっきり違うアプローチ.



厳密値でなく「近似値」を知るためなら, 1/x の定積分で近似することを考えればよい.

以下の計算は「どんぶり勘定」で,近似計算と呼べるものではありませんが…
1/1+1/2+1/3+...+1/100 は log(100) と 1+log(100) の間で,真ん中より少し大きいぐらい,真ん中でもわりとよい近似になりそう. log(100) を関数電卓で計算すると 4.6 ぐらいだから, 1/1+1/2+1/3+...+1/100 はだいたい 5.1 と見当がつきます.
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よくある最初からと最後からを順に足し合わせていくと


101*(1/100+1/(2*99)+1/(3*98)+...+1/(50*51))
です。
更にもう一度したら
101*∑((2550+(102*k)-2k^2)/(k(101-k)(50+k)(51-k))
です
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(1)関数電卓を使う


(2)何かのプログラミング言語を使ってプログラムを書く
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地道に前の項から分母を通分して加えて部分和を求め、約分出来る時は既約分数にしながら、次の項との部分和をとって計算を進めて行くしかないと思います。



数式計算ソフトで計算すると
 14466636279520351160221518043104131447711/
 2788815009188499086581352357412492142272
という結果が出ました。
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Maxima で


sum(1/k, k, 1, 100);
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