絶対値の二乗の思考過程 |x-y|^2

絶対値を含む式の二乗を”暗記の結果ではなく、理解して導きたい”です。
以下に私の計算過程における思考過程を文章にしてみましたので
間違い、改善点またはおかしな点などありましたら教えてください。
文章を書くのが苦手なので文章に対する突込みでも、ありましたらお願いします。

◆(|x|+|y|)^2＝|x|^2+2|x||y|+|y|^2
１．|x|と|y|はともに正なので二乗しても絶対値の記号は関係ないから二乗するとx^2とy^2となる。
２．2|x||y|は要素が全て正なので結果正となればよいから、2|xy|となる。
３．よって、(|x|+|y|)^2＝x^2+2|xy|+y^2

◆(|x|-|y|)^2＝|x|^2-2|x||y|+|y|^2
１．|x|と|y|はともに正なので二乗しても絶対値の記号は関係ないから二乗するとx^2とy^2となる。
２．-2|x||y|はマイナス×プラス×プラスなので結果マイナスにならないといけない。
そして、ｘとｙは正負不明なので-2|x||y|を結果としてマイナスにするためには絶対値を
はずしきっちゃうとまずいので、-2|xy|となる。
３．よって、(|x|-|y|)^2＝x^2-2|xy|+y^2

◆|x+y|^2＝|(x+y)^2|＝|x^2+2xy+y^2|
１．xy≧0のとき、(a+b)^2＝(-a-b)^2なので、普通に解いて、x^2+2xy+y^2
２．xy＜0のとき、・・・お手上げです。どう進めたら良いのかわかりません。

◆|x-y|^2＝|(x-y)^2|＝|x^2-2xy+y^2|
１．・・・お手上げです。どう進めたら良いのかわかりません。

奇妙な質問ですがよろしくお願いします。

No.5 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2006/10/07 09:19

場合分けの仕方がよくないですね。

単純に、「絶対値の中身が0以上か、0未満か」で分ければいいです。

(1)|x+y|^2について
0≦x+yのとき：
　|x+y|=x+yなので、|x+y|^2=(x+y)^2=x^2+2xy+y^2
x+y＜0のとき：
　|x+y|=-(x+y)なので、|x+y|^2={-(x+y)}^2=(x+y)^2=x^2+2xy+y^2

(2)|x-y|^2について
0≦x-yのとき：
　|x-y|=x-yなので、|x-y|^2=(x-y)^2=x^2-2xy+y^2
x-y＜0のとき：
　|x-y|=-(x-y)なので、|x-y|^2={-(x-y)}^2=(x-y)^2=x^2-2xy+y^2

No.4 回答者： postro 回答日時： 2006/10/06 22:43

０＜ｘ　、０＜ｙ　のとき

|x+y|^2＝(x+y)^2＝x^2+2xy+y^2

０＜ｙ＜ｘ　のとき
|x-y|^2＝(x-y)^2＝x^2-2xy+y^2
０＜ｘ＜ｙ　のとき
|x-y|^2＝(y-x)^2＝x^2-2xy+y^2
以上をまとめて
０＜ｘ　、０＜ｙ　のとき
|x+y|^2＝x^2+2xy+y^2
|x-y|^2＝x^2-2xy+y^2

この結果から
０＜ｘ　、０＞ｙ　のとき
|x+y|^2＝|x-(-y)|^2＝x^2-2x(-y)+(-y)^2＝x^2+2xy+y^2
|x-y|^2＝|x+(-y)|^2＝x^2+2x(-y)+(-y)^2＝x^2-2xy+y^2
０＞ｘ　、０＜ｙ　のときも同様に
|x+y|^2＝x^2+2xy+y^2
|x-y|^2＝x^2-2xy+y^2
０＞ｘ　、０＞ｙ　のとき
|x+y|^2＝|-x-y|^2＝|（-x）+(-y)|^2＝(-x)^2+2(-x)(-y)+(-y)^2＝x^2+2xy+y^2
|x-y|^2＝|-x+y|^2＝|(-x)-(-y)|^2＝(-x)^2-2(-x)(-y)+(-y)^2＝x^2-2xy+y^2

xy=0 のときは
|x+y|^2＝|x-y|^2＝x^2+y^2
は容易にわかる。

以上全部まとめて
|x+y|^2＝x^2+2xy+y^2
|x-y|^2＝x^2-2xy+y^2

No.3 回答者： incd 回答日時： 2006/10/06 22:28

到達したい結果が絶対値記号を外す事であれば、

一般に｜A｜^2 = A^2 が成り立ちます。

※証明
A が非負の時、|A| = A だから、
|A|^2 = A^2
A が負の時、|A| =-A だから、
|A|^2 = (-A)^2 = A^2

ゆえに、
|x+y|^2 =(x+y)^2
|x-y|^2 =(x-y)^2
で良いのでは？

No.2 回答者： yumisamisiidesu 回答日時： 2006/10/06 22:18

絶対値について定義から式で理解しておくと理解がすっきりすると思います.

x>=0 ⇒ |x|=x
x<=0 ⇒ |x|=-x

が定義です.

次に絶対値の基本的な性質を示します.
|x+y|<=|x|+|y|
|xy|=|x||y|
これらの証明は大抵、x,yを正負に場合分けしてできると思います.

No.1 回答者： yori3 回答日時： 2006/10/06 21:01

下二つですが、x+y=A,x-y=Bなどと考えてみてはいかがでしょう。

そしてA(orB)の正負で絶対値をはずしてみて、その状態でx,yに戻すというのは？
ちなみに|(x+y)^2|=(x+y)^2です。