微分方程式 xy"+2y'-4xy=0 の一般解の求め方が分かりません。 はじめ、オイラーの微分方程

微分方程式
xy"+2y'-4xy=0
の一般解の求め方が分かりません。

はじめ、オイラーの微分方程式を使ってみましたが、できませんでした。

ご教授お願いします。

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2021/05/05 14:05

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …
より
xy"+2y'-4xy=0
xy＝t と置くと、
y'＝(xt'ーt)/x^2 　y''＝(x^2t''ー2tx'＋2t)/x^3
xy''＋2y‘―4xy＝0
(x^2t''ー2tx'＋2t)＋2(xt'ーt)―4tx^2＝0
x^2t''―4tx^2＝0
t''―4t＝0
t''＝4t
(2t')＊t''＝4t＊(2t')
{(t')^2}'＝4＊(t^2)'
(t')^2＝4＊t^2＋a、(a＞0)
t'＝±√(4＊t^2+a)、(変数分離形) ∫dt/√(4＊t^2+a)＝±∫dx
(1/2)＊arcsin(2t/√a)＝b±x
arcsin(2t/√a)＝B±2x
2t/√a＝sin(B±2x)
t＝A＊sin(2x＋B)
xy＝A＊sin(2x＋B)
y(x)＝A＊sin(2x＋B)/x

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/05/05 08:10

ずばり、経験の記憶です。

なにか方法があるかもしれませんが。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/05/04 17:57

u=xy と置く。

u'=y+xy'
u''=y'+y'+xy''=2y'+xy''
これを与式に入れると

u''-4u=0
この一般解はよく知られ
u=Aexp(2x)+Bexp(-2x) → y={Aexp(2x)+Bexp(-2x)}/x

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
確かに解くことができました。

一つ質問があるのですが、なぜu=xyの置換が思いつくことができるのでしょうか。xy"〜という式の時はすべてu=xyと置換すればいいのでしょうか？

お礼日時：2021/05/05 07:35