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微分方程式
xy"+2y'-4xy=0
の一般解の求め方が分かりません。

はじめ、オイラーの微分方程式を使ってみましたが、できませんでした。

ご教授お願いします。

A 回答 (3件)

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …
より
xy"+2y'-4xy=0
xy=t と置くと、
y'=(xt'ーt)/x^2  y''=(x^2t''ー2tx'+2t)/x^3
xy''+2y‘―4xy=0
(x^2t''ー2tx'+2t)+2(xt'ーt)―4tx^2=0
x^2t''―4tx^2=0
t''―4t=0
t''=4t
(2t')*t''=4t*(2t')
{(t')^2}'=4*(t^2)'
(t')^2=4*t^2+a、(a>0)
t'=±√(4*t^2+a)、(変数分離形) ∫dt/√(4*t^2+a)=±∫dx
(1/2)*arcsin(2t/√a)=b±x
arcsin(2t/√a)=B±2x
2t/√a=sin(B±2x)
t=A*sin(2x+B)
xy=A*sin(2x+B)
y(x)=A*sin(2x+B)/x
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ずばり、経験の記憶です。

なにか方法があるかもしれませんが。
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u=xy と置く。


u'=y+xy'
u''=y'+y'+xy''=2y'+xy''
これを与式に入れると

u''-4u=0
この一般解はよく知られ
u=Aexp(2x)+Bexp(-2x) → y={Aexp(2x)+Bexp(-2x)}/x
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
確かに解くことができました。

一つ質問があるのですが、なぜu=xyの置換が思いつくことができるのでしょうか。xy"〜という式の時はすべてu=xyと置換すればいいのでしょうか?

お礼日時:2021/05/05 07:35

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