数学3 無限数列 画像の例題93(1)について質問があります。 なぜbnとおいたんですか...??

数学3 無限数列
画像の例題93(1)について質問があります。
なぜbnとおいたんですか...??
なぜbnとおいたら上手くいくことが分かるの
でしょうか..??
どのように考えたらその発想に至るのでしょうか..??
bnなどという別の数列でおいて
考えれば上手くいく場合はどんな時でしょうか...??
すみません、疑問が湧いてきて気になって夜も眠れません、、泣
回答よろしくお願いします！

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/10 20:51

bnとおく必要はありません

任意のε>0に対して
ε'=ε/(5+3ε)>0に対して
ある自然数n_0が存在して
n>n_0となる任意の自然数nに対して
|{2a(n)+3}/{3a(n)+2}-1|<ε'
|5/(3{3a(n)+2})-1/3|<ε'
0<1-3ε'<5/{3a(n)+2}<1+3ε'
5/(1+3ε')<3a(n)+2<5/(1-3ε')
5/{3(1+3ε')}<a(n)+2/3<5/{3(1-3ε')}
5/{3(1+3ε')}-5/3<a(n)-1<5/{3(1-3ε')}-5/3
-ε=-5ε'/(1-3ε')<-5ε'/(1+3ε')<a(n)-1<5ε'/(1-3ε')=ε
-ε<a(n)-1<ε
|a(n)-1|<ε

∴
lim_{n→∞}a(n)=1

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/10 15:33

1 = lim (2an + 3)/(3an + 2) = (2lim an + 3)/(3lim an + 2) から

lim an についての方程式を解いて、 lim an = 1.

とやってしまうと、 lim an が「もし収束するとすれば」値は 1
であることしか言えてなくて、 lim an が収束することは別途示す必要がある。
写真の解答のようにすれば、 lim an の収束を lim bn の収束から導くことができる。
...って考えたのだと思う。
lim an が収束することを示す方法は他にもあるけれど、
計算だけで済む写真の方法は比較的シンプル。これに気づいた人は冴えてる。

No.1 回答者： finalbento 回答日時： 2022/07/10 14:09

単純に

(2an+3)/(3an+2)

が分かればanも分かるから、と言うだけだと思います。長い式をいちいち書くのは面倒なのでまとめてbnと書いただけでしょう。

それから質問文にあるような「こうやればうまく行くと言うのはどんな場合なのか」という発想はやめた方がいいと思います。このやり方でうまく行くかどうかと言うのは、基本的にはうまく行ってみるまで分かりません。「こうやったら解けるんでは?」と思ったやり方を片っ端から試してみると言うのが数学の問題の解き方です。第一「うまく行くやり方が何なのか分からなければ解けない」なんて言っていたら、数学者が問題を解く事なんて絶対できません(理由は分かりますよね)。