漸化式 これってどんな意味を持つんですか、？

漸化式
これってどんな意味を持つんですか、？

No.4 回答者： sorewasennsei 回答日時： 2024/02/22 23:12

私が習っていた時に考えたのは

連続関数の場合の
f(x)=x^2
f(x+h)=f(x)+f'(x)h
ここでf'(x)=2x,かつh=1

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/02/16 11:10

漸化式は

a_n=1+2+3+・・・+n
a_n=a_n-1+n=(1+2+3・・・+n-1)+n
を表してると考えることもできる。

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2024/02/16 10:56

a (n)=n(n+1)/2 =Σ【k=1→n】k

って　1からnまでの和だよね！だから
a(1)=1
a(2)=1+2
a(3)=1+2+3
a(4)=1+2+3+4
......................
a(n-1)=1+2+3+4+.............+(n-1)
a(n)=1+2+3+4+.................+(n-1)+n
∴
a(2)-a(1)=2
a(3)-a(2)=3
a(4)-a(3)=4
...................
a(n)-a(n-1)=n

(解き方としては　逆になるが) 意味的には
a (n)=n(n+1)/2 　を具体化して
a(1)から順に並べて　その階差をとった一般式が下図の漸化式となるでしょう！

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/02/16 09:47

意味？　質問の意味が不明です。

「どういうものか」は自分で想像すればよい。

a(n) = n(n + 1)/2

なら、単純に

a(n - 1) = (n - 1)n/2

なので、その差は

　a(n) - a(n - 1) = n(n + 1)/2 - (n - 1)n/2 = n　　　①

というだけの話です。

①を書き直せば
　a(n) = a(n - 1) + n　　　②

これはつまり、
数列 {a(n)} の第 k 項は、前の項（第 (k - 1) 項）に k を加えたものになる、ということ。
式そのまんまですよ。

つまり、初項が a(1) = 1 なら
・第2項：1 + 2 = 3
・第3項：3 + 3 = 6
・第4項：6 + 4 = 10
　・・・
ということ。

これは、むしろ①式から
　b(n) = a(n) - a(n - 1) = n
とすれば、階差数列 {b(n)} は「初項１の等差数列（公差は１）」になるということです。