数列 漸化式

A(n+1)=2A(n)+n （初項A(1)=1）
という数列があるとします。

この一般項の形を求めるのに、この漸化式を満たす数列{B(n)}=αn+βを設定して、
この漸化式に代入、恒等式から{B(n)=-n-1}がわかります。

この{B(n)}の式が最初の漸化式を満たすわけですから、
A(n+1)=2A(n)+n
B(n+1)=2B(n)+nの両辺を引いて
A(n+1)-B(n+1)=2(A(n)-B(n))という等比数列が成り立つので、

A(n)=3*(2のn-1乗)-n-1　　　となると思うのですが、

ここから質問です。
なぜ最初の漸化式を満たした、B(n)=-n-1 と これまた漸化式を満たしている、A(n)=3*(2のn-1乗)-n-1　が異なっているのでしょうか？


回答お願いいたします。

No.3 ベストアンサー 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/08/05 14:19

漸化式を、別名、差分方程式と言いますが、

方程式が複数の解を持つことなど
珍しくもないハズです。
x~2=1 ⇔ x=±1 だって、そうです。

実際、質問の漸化式は、2 個どころではなく、
無数の解を持ちます。
任意の定数 C に対して、
A[n] = C＊(2 の n-1 乗) -n-1
が解になります。

漸化式に、初期条件 A[1] = 1 を添えると、
初期値問題の解は、ひとつに定まります。
このとき、C = 3 が限定され、
C = 0 の場合にあたる B[n] はJ
解でなくなります。

No.6 回答者： mesenfants 回答日時： 2009/08/05 20:58

no1 です。

あとから解法の意味がわかりました。
たいへん失礼しました。

ＢｎをＡｎに代入してみると、

Ａ（ｎ＋１）＋（ｎ＋１）＋１＝２｛Ａ（ｎ）＋ｎ＋１｝

ですね。こうすれば、Ａｎの一般項と（ｎ＋１）はなぜ同じ式にならないかという疑問は生じないと思うのですが。すこし疑問の核心からは外れているかもしれません。

No.5 回答者： kenjoko 回答日時： 2009/08/05 19:44

no.4です　　訂正があります

　A(n) = 2n^2-3n+2　となった。これは間違い

皆さんと同じ

　A(n) = 3*2^(n-1)-n-1　となりました。

漸化式に代入するときミスリました。ごめん！

No.4 回答者： kenjoko 回答日時： 2009/08/05 18:36

　A(n+1)=2A(n)+n 　　 初項A(1)=1　という数列がある。

　この数列の一般項A(n)を求めよ・・・という問いに対し
特に回答の仕方に指定が無ければ、私なら次のように解きます。

初項A(1)=1が与えられているので上の漸化式に暫時代入して

A(5,6)くらいまで求める。これからB(n)が割と容易に求められる。

後は　公式　A(n) = A(1) + [1,n-1]ΣB(k) を用いる。

ちなみに　A(n) = 2n^2-3n+2　となった。

No.2 回答者： f272 回答日時： 2009/08/05 11:10

A(n)とB(n)で共通しているのは、同じ2項間漸化式を満たすということですが、その初項は異なります。

そう考えるとA(n)とB(n)が異なることは当然だと思えませんか？

No.1 回答者： mesenfants 回答日時： 2009/08/05 09:07

上記の解法がよくわからないので、質問のお答えにはなりませんが、

わたしならこう解きます。参考にしてください。

Ａ（ｎ＋２）＝２Ａ（ｎ＋１）＋ｎ＋１
Ａ（ｎ＋１）＝２Ａ（ｎ）＋ｎ

上から下を引きます。

Ａ（ｎ＋２）－Ａ（ｎ＋１）＝２｛Ａ（ｎ＋１）－Ａ（ｎ）｝＋１

ここで　　Ａ（ｎ＋１）ーＡ（ｎ）＝Ｂｎ　　とおけば

あとは普通の等比数列型の解法に持ち込めると思うのですが。