A(n+1)=2A(n)+n (初項A(1)=1)
という数列があるとします。
この一般項の形を求めるのに、この漸化式を満たす数列{B(n)}=αn+βを設定して、
この漸化式に代入、恒等式から{B(n)=-n-1}がわかります。
この{B(n)}の式が最初の漸化式を満たすわけですから、
A(n+1)=2A(n)+n
B(n+1)=2B(n)+nの両辺を引いて
A(n+1)-B(n+1)=2(A(n)-B(n))という等比数列が成り立つので、
A(n)=3*(2のn-1乗)-n-1 となると思うのですが、
ここから質問です。
なぜ最初の漸化式を満たした、B(n)=-n-1 と これまた漸化式を満たしている、A(n)=3*(2のn-1乗)-n-1 が異なっているのでしょうか?
回答お願いいたします。
No.1
- 回答日時:
上記の解法がよくわからないので、質問のお答えにはなりませんが、
わたしならこう解きます。参考にしてください。
A(n+2)=2A(n+1)+n+1
A(n+1)=2A(n)+n
上から下を引きます。
A(n+2)-A(n+1)=2{A(n+1)-A(n)}+1
ここで A(n+1)ーA(n)=Bn とおけば
あとは普通の等比数列型の解法に持ち込めると思うのですが。
No.2
- 回答日時:
A(n)とB(n)で共通しているのは、同じ2項間漸化式を満たすということですが、その初項は異なります。
そう考えるとA(n)とB(n)が異なることは当然だと思えませんか?No.3ベストアンサー
- 回答日時:
漸化式を、別名、差分方程式と言いますが、
方程式が複数の解を持つことなど
珍しくもないハズです。
x~2=1 ⇔ x=±1 だって、そうです。
実際、質問の漸化式は、2 個どころではなく、
無数の解を持ちます。
任意の定数 C に対して、
A[n] = C*(2 の n-1 乗) -n-1
が解になります。
漸化式に、初期条件 A[1] = 1 を添えると、
初期値問題の解は、ひとつに定まります。
このとき、C = 3 が限定され、
C = 0 の場合にあたる B[n] はJ
解でなくなります。
No.4
- 回答日時:
A(n+1)=2A(n)+n 初項A(1)=1 という数列がある。
この数列の一般項A(n)を求めよ・・・という問いに対し
特に回答の仕方に指定が無ければ、私なら次のように解きます。
初項A(1)=1が与えられているので上の漸化式に暫時代入して
A(5,6)くらいまで求める。これからB(n)が割と容易に求められる。
後は 公式 A(n) = A(1) + [1,n-1]ΣB(k) を用いる。
ちなみに A(n) = 2n^2-3n+2 となった。
No.5
- 回答日時:
no.4です 訂正があります
A(n) = 2n^2-3n+2 となった。これは間違い
皆さんと同じ
A(n) = 3*2^(n-1)-n-1 となりました。
漸化式に代入するときミスリました。ごめん!
No.6
- 回答日時:
no1 です。
あとから解法の意味がわかりました。
たいへん失礼しました。
BnをAnに代入してみると、
A(n+1)+(n+1)+1=2{A(n)+n+1}
ですね。こうすれば、Anの一般項と(n+1)はなぜ同じ式にならないかという疑問は生じないと思うのですが。すこし疑問の核心からは外れているかもしれません。
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