プロが教えるわが家の防犯対策術!

中学で連立方程式を習って以来、
「文字2つに式2つだから解けるよね。」とか、「未知数3つに式が3つだから解けるね。」などと当たり前のように学校や塾で言われてきました。
初めは戸惑った記憶があるのですが、何度も言われたり自分で連立方程式を解くうちに「一般に未知数と式の数が同じ(あるいは式の方が多い)ならば解けるのか」ということを経験的に納得してきました。
しかし思い返すと、(私の記憶が正しければ)、学校の教科書に「一般に未知数と式の数が同じ(あるいは式の方が多い)ならば解ける。」なでという記述はなかったと思います。
基本的ながら、数学の一種のセンスとして重要なものの1つだと私は思うのですが、なぜ教科書には載っていないのですか?
また、私が中学生に連立方程式の解き方を教えている際に、「文字数2つに式2つだから解けるね。」と言った時、「なんで?」と言われたらなんと答えたらいいのでしょうか?
(「経験的に。」としか答えられません・・・。)
また、(多分あると思いますが)式と未知数の数が同じでも絶対(どんなに数学が発達しても)解けない連立方程式というのはあるのでしょうか?
尚、当方は高校数学までしか知識ありません・・・。

A 回答 (7件)

しかし思い返すと、(私の記憶が正しければ)、学校の教科書に「一般に未知数と式の数が同じ(あるいは式の方が多い)ならば解ける。

」なでという記述はなかったと思います。

************************************************
たしかに、ありませんね。
文部省は教科書検定をいつもやっているので
来年は追加ですね。

記述がないその理由は、線形代数学に委ねなければならないからです。
したがって、中学校で、その理由を説明することはできません。
(高校でも無理です。)
しかし、その結果を文章で書き込むことは可能だし、
必要と思われます。

行列式では、クラーメルの公式があります。
行列式の研究は2元2式や3元3式の連立方程式の
研究から始まったものと思われます。
    • good
    • 1
この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
参考になりました。

お礼日時:2009/08/11 22:28

 同類項(おなじ文字の項)をまとめて整理した上で、「文字3つに式2つだから解けっこないよね」なら言えますよね。

「文字2つに式2つだから、解けそうだ(解けるかも知れない)ね。なら、やってみよう」でも良い。

> 「文字2つに式2つだから解けるよね。」とか、「未知数3つに式が3つだから解けるね。」

は仰るとおり経験則でしょう。数学としては正しくないが、中学生用問題集への対処法としてこの経験則が成り立ってしまう。で、解けない例に出会ったときに、可哀想に大混乱して「数学なんかきらいだー」
 2元2式の場合だけでもいいから、どなたかも仰っているようにグラフを使った意味付けを教えれば、解けない場合があって、それはどういう場合だ、ってことが中学生でも充分直感的に分かるでしょうに。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
参考になりました。 

お礼日時:2009/08/11 22:29

すごくいい質問だと思いました。

以下の私の主観的な考えになります。

>>「一般に未知数と式の数が同じ(あるいは式の方が多い)ならば解ける。」
確かに、この呪文のような文章は、聞いたことがあります。
これは、学校で初めて、1次方程式から、連立方程式を学習するにあたり、
問題の答えが必ず1つ存在します。・・・のような、
連立方程式は、必ず1つの解が存在するという保証を表現しているものだと思います。
なので、学校の先生や塾の先生が、伝統的に伝えられてきた定石になってしまった。

逆に、一般的な公立中学校であれば、
x + 3 y = 1
2x + 6 y = 4
を解けのような問題は、出題されなかったと思います。

これは、「一般に未知数と式の数が同じ(あるいは式の方が多い)ならば解ける。」
であることに反するつまり、これが、教科書に記載されない(記載しない)理由になるのではないかと。

また、以下の問題は、高校レベルとなりますが、
x + y + z = 6・・・A
3x + y + 5z = 10・・・B
この方程式の解は、z = t (t : 実数)とおいて、
B-Aより、2x + 4t = 4   x = 2 - 2 t
Aに代入して、2 - 2t + y + t = 6 よって、y = t + 4
(x , y , z) = ( 2 - 2 t , t + 4 , t)ただし、t : 実数
となり、適当な t を代入すれば、x , y , z の解は無数に存在することになります。
これも、「一般に未知数と式の数が同じ(あるいは式の方が多い)ならば解ける。」
であることに反してる。

つまり、中学時代でかつ、連立方程式を学習し始めた時にしか聞くことができない説明と
思えばいいと思います。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
参考になりました。

お礼日時:2009/08/11 22:29

中学で習わなかったのは、2元1次しかやらなかったからだと思います。

つまり、連立方程式というものは、式が二つのもの、という風な暗黙の了解があったと思います。私は、小5で3元、4元、5元…と公文式でやっていたので、冷ややかな目で見ていたのを覚えています。
未知数と式の数の関係に関しては、未知数がn個の二つの式から、ある未知数の係数をそろえて加減することによって、未知数n-1個の一つの式ができる、ということを教えてやればいいでしょう。勿論、中学生レベルに噛み砕いてね。だったら、最終的に、未知数n個のn個の式から、未知数1個の一つの式が生まれる(2x=8など)。すると、その未知数の値は求まる。それを繰り返せば、全部の値が求まるのだ、という具合にね。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
参考になりました。

お礼日時:2009/08/11 22:29

グラフを描いてみるとか。



> 「文字2つに式2つだから解けるよね。」

平面上で、2本の直線や曲線の交差する点を求める問題に置き換え出来ます。
2本の直線が平行だったとか、交差する点が無い場合には、解けません。

> 「未知数3つに式が3つだから解けるね。」

ちょっと難しいですが、空間内で、3枚の平面の交点を求める問題になるかと。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
参考になりました。

お礼日時:2009/08/11 22:28

高校数学までの知識と言うことは、連立一次方程式と思って良いですよね。


変数をx1,x2,x3,...とすると、一次式ならx1を含んだ最初の式をx1=(x1を含まない式)の形に変形することができます。そのx1を他の式のx1に代入すると、x1が消えて変数が1つ減ります。式を1つ使ったので式も1つ減ります。これを繰り返すと最後は1変数の式が1つできるので解けます。

「解ける」というのを、xやyの値が求まるという意味だとすると、
解けないケースは、他の式から導ける式が含まれているケース。
2x+3y+z=8, x+y+z=15, 3x+4y+2z=23
変数3つ式3つですが、1つめの式と2つめの式の両辺を足すと3つめの式になるので、解けません。正確には解が一意に定まらない。
あるいは、
x+y=0, x+y=10
これを満たすx,yは無いので、解けません。正確には「解無し」と解ける。

「方程式を解く」という意味を広く考えれば、「一意に定まらない」も「解無し」もそうわかったということが解けたと言うことです。

中学の教科書にないのは、こういういろいろなケースもあるからでしょう。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
参考になりました。

お礼日時:2009/08/11 22:28

>学校の教科書に「一般に未知数と式の数が同じ(あるいは式の方が多い)ならば解ける。


>などという記述はなかったと思います。

中学の教科書にそこまでの「一般化」を求めるのは酷だと思います。

ただ、私が中学生の時は二元二次方程式については、解が唯一である場合、無数にある場合、
存在しない場合の考察が記載されていたと記憶しています。

>「文字数2つに式2つだから解けるね。」と言った時、
>「なんで?」と言われたらなんと答えたらいいのでしょうか?

文字数一つに式一つの場合を考察するよう答えて下さい。
数学では、簡単な場合に還元するにはどうすればよいか、という発想が重要です。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
参考になりました。

お礼日時:2009/08/11 22:28

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q2乗しても同値性が崩れないときと崩れるとき

2乗しても同値性が崩れないときともう一つの解が割り込んできて同値性が崩れるときはそれぞれどのような場合なのでしょうか。よく方程式の両辺を2乗してルートをはずしたり、代入しやすくしたりすると思うのですが、問題をやっていて「ここで2乗してもいいのかな?」といつも迷ってしまいます。このようにならないためにはどのようなことに気をつければよいのでしょうか。

例);2乗してもいいとき

X=-1/2(α+β){[(α+β)^2]-1}・・・(1)
Y=3/4[(α+β)^2]+3/4・・・(2)

ここでXとYの関係式を作るために(2)を(α+β)^2=・・・の形にして置いて・・・(2)”、(1)の両辺を2乗して(α+β)^2を作り出しておいてから(2)”を(1)に代入するというものです。

Aベストアンサー

OKじゃ!x実数⇒t実数はよいが、その逆、tが実数→x実数はかならずしも成り立たない。このことに気がつくだけでも良かったのだが、ちゃんと解答を作るとは!

x実数⇔t実数かつ(tは正または0)  
つまり、式の一部を他の文字に置き換えると、同値関係が崩れることがあるということ。解決法は、おきかえた式に戻って検討するだけ。解答はs-wordさんのでOK!

<まとめ>
同値関係が崩れる可能性のあるパターン
1.分母を払うとき
2.等式、不等式の両辺を平方するとき
3.2つの等式、不等式を加減するとき
4.式の一部を他の文字で置き換えるとき

s-wordさんの謎もこれで解決したはず。2乗(平方)したら、同値関係は崩れると思ったほうが良い。代入(加減)も同じ。(もちろん、崩れない場合もある)解決法は、平方の場合は、最初の条件にもどって検討する。代入(加減)の場合は、代入した式に戻って検討する。

ちなみに、7の問題は大変な良問で、いろいろな解法が出来ます。私はパラメ-タaを分離して、解決しました。これは、受験数学のテクニックのひとつで、aとxが伴って変わらくて、しかもaとxを分離することが容易な場合に威力を発揮します。また、xについての二次方程式でもあるので、判別式を利用して解くことも出来るし、さらにs-wordさんの解で、特殊な絶対不等式を使うことも出来る。この絶対不等式は、私は気づきませんでした。問題の型を見た瞬間に、パラメタ分離→微分して調べるという構図が浮かんでしまったからです。某料理会の○皇様が、料理は工夫しすぎるということはない。さらなる工夫をもって精進せいよなどどと言っていたのを思い出しました。まったく数学は奥が深いのう。

OKじゃ!x実数⇒t実数はよいが、その逆、tが実数→x実数はかならずしも成り立たない。このことに気がつくだけでも良かったのだが、ちゃんと解答を作るとは!

x実数⇔t実数かつ(tは正または0)  
つまり、式の一部を他の文字に置き換えると、同値関係が崩れることがあるということ。解決法は、おきかえた式に戻って検討するだけ。解答はs-wordさんのでOK!

<まとめ>
同値関係が崩れる可能性のあるパターン
1.分母を払うとき
2.等式、不等式の両辺を平方するとき
3.2つの等式、不等...続きを読む

Q連立方程式の解が交点の座標と一致する理由は?

連立方程式の解が交点の座標と一致する理由は?

学校で
連立方程式の解(x,y)=(a,b)はグラフの交点の座標と一致しますが、
どうして一致するのか説明せよと問題を出されてしまいました

しかし教科書にも載ってないし、調べてもわかりませんでした。
どなたかできればわかりやすく教えてください

Aベストアンサー

方程式のグラフとは何かを考えてみましょう。

グラフの勉強をしたところで説明があるはずなのですが、
「方程式のグラフ」とは、方程式を満たすx,yを座標に持つ
点(x,y)の集合のことです。


ですから、2つのグラフが交わる点では、その座標は、2つ
の方程式を同時に満たしています。つまり連立方程式の解が
その座標となっています。

>しかし教科書にも載ってないし、調べてもわかりませんでした。
教科書の、「関数のグラフ」「方程式の表すグラフ」などが
書かれているところをもう一度調べてみて下さい.

Q3元?連立方程式の解き方が分かりません。

(1)x+2y=-4
(2)x+y+z=6
(3)2y+3z=6
解き方が分からないので順を追って説明してもらえるとありがたいです!
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

2つの連立方程式が解けるのなら、どのような形にな
れば方程式が解けるかは分かりますよね。そうです、
 ●x+■y=▲という式と
 ○x+□y=△という式の2種類があれば解けます
よね。つまり、2種類の同じ文字が含まれた式が2
つあればアナタは解くことができるのです!では、
この3つの式からこのような形を作ることはできない
でしょうか。

 (2)の式を3倍してみましょう。
  3x+3y+3z=18
 ではこの式から(3)の式を引いてみましょう。
  3x+3y+3z-2y-3z=18-6
   3x+y=12
 
そうです。(2)と(3)の式から、3x+y=12という新し
い式ができたのです。この式と(1)の式を使って計
算してみましょう。
  x+2y=-4 
  3x+y=12
これは、今まで見慣れた連立方程式ではないですか。
 これを計算すると、xとyがでますよね。後はそれを
(2)や(3)の式に代入して計算すればzも出ますよ。

このように考えれば、方程式が何個あっても解くことが
できますよ。
 

2つの連立方程式が解けるのなら、どのような形にな
れば方程式が解けるかは分かりますよね。そうです、
 ●x+■y=▲という式と
 ○x+□y=△という式の2種類があれば解けます
よね。つまり、2種類の同じ文字が含まれた式が2
つあればアナタは解くことができるのです!では、
この3つの式からこのような形を作ることはできない
でしょうか。

 (2)の式を3倍してみましょう。
  3x+3y+3z=18
 ではこの式から(3)の式を引いてみましょう。
  3x+3y+3z-2y-3z=18-6
   3x+y=12
 
そうで...続きを読む

Q3つの未知数・3つの方程式

こんにちは。おそらくかなり基本的なことですが困っております。
(1)…2X-3Y-Z=2
(2)…-X+3Y+2Z=-10
(3)…3X-6Y-3Z=12

という3つの未知数と3つの方程式なので、未知数は一つに定まるはずですけれども、どうしても求めることが出来ません。

どなたか解法を教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

(2)+(3)が (1)と同じ式になってしまいます。
従って、3つの未知数・2つの方程式ですから、求まりません。
ちなみに、
(1),(2),(3)の式から代入法により
 X+2 = Y = ーZ-6 が求められます。
 これは、三次元の直線の方程式ですから、
 (X,Y,Z) は 、(1,3,-9) 、(2,4,-10)、 (5,7,ー13)など無限にあります。

Q未知数の数と必要な方程式の数が等しい理由

未知数の数だけ方程式の数が必要なのはなぜでしょうか?またこのことは確かなのでしょうか?
未知数が二つあれば方程式が二つ必要、ということには、今まで何の疑問もなくそうのように考え、今までそれでやってきました。しかし、今頃になって、本当に良いのだろうか思うようになりました。考えてみると、未知数二つに対して方程式一つでは、解けませんし、二つあれば確かに解けそうです。二つの方程式が適切なものあれば解けそうです。このことは、いままでみんながそうしているから間違いないだろう、自分の経験でも確かにそうだから、と思っていました。しかし、未知数の数だけ方程式の数が必要ということの理由や、それで大丈夫という証明は教わったことがないような気がします。馬鹿な疑問かもしれませんが、なにか教えていただけれると助かります。

Aベストアンサー

証明は簡単です。
N個の未知数を含むN個の方程式の任意の一つを取り出すと、これによって一つ未知数を消去できますね。これをN-1個の方程式について行なうと最後に残った方程式の未知数は一つとなり、これからその未知数の価を求めることができます。あとは消去した逆をたどれば残りの未知数も求められることになります。
 ただしN個の方程式を用意するというのは解くための必要条件であり、十分条件ではないことに留意してください。解けない場合があるのです。それはN個の方程式の中に他の方程式を足したり引いたりすると、その方程式になってしまうものが紛れ込んでいる場合です。一次連立方程式のときにはこれがときどき起こりますから用心してください。

Q連立方程式の同値性について

連立方程式の同値性について
f(x,y)=0...(1)
g(x,y)=0...(2)
(1)と(2)から、h(x,y)=0 ..(3)ができたとします。
「(1)かつ(2)」は「(3)かつ(1)」であるための必要十分条件といえるか。
基本的なことですが、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

それは、「一般にはいえない」ですね。

>(1)と(2)から、h(x,y)=0 ..(3)ができたとします。
 の 「から・・・できる」の部分の操作を、両辺を加える、0でない定数倍をする
 などと、同値変形に限定すれば同値といえるとは思いますが・・・。


a)x=1
b)y=0
の2つの式から
c)x^2+y=1
ができますが、
a&b と b&c は同値でないですよね。

Q面積を表す文字になぜSをつかうことが多いのか

タイトルどおりの質問です。職場で突然、話題になりました。現在、スクエアの頭文字では、という意見が優勢です。いろいろな説があるのかもしれませんが、「何々では」という予想ではなく、それなりに根拠がある由来をご存知の方、ぜひ教えてください。

Aベストアンサー

No4.の補足です。

歴史的な経緯からすると、繰り返しになりますが、和を表すsumあるいはsummationの頭文字をとったものというのが、数学界での定説です。

同様の見解は、次のURLにも出ています。
三重大学で作った解析学のホームページ内の掲示板での質疑です。
そのものズバリの質問と回答が載っています。
http://www.com.mie-u.ac.jp/~kanie/tosm/keiji04/k_result.htm

そもそも曲線図形の面積を求める方法には2つあります。
(たとえば、野崎昭弘他著「微分・積分の意味がわかる」ベレ出版,2000年,p114参照)

1つは原始的な方法で、既にアルキメデスの時代から知られている、
「図形を細かく分けて、直線で囲む形にして近似し、足し合わせる」という、いわゆる区分求積法です。

この足し合わせるという語は、英語などではsumとかsummationといいます。
そして、後述するライプニッツおよびニュートンによる微積分学以降、
離散量あるいは有限個のものの和を表すのに、この頭文字Sに対応するギリシャ語のアルファベットΣが使われ、
「一つ一つの分割をS1,S2,S3,・・・とおけば、全体の面積S=ΣSi」
という数学記法上の慣習として広まったものです。

つまり、Sを、sumあるいはsummationの頭文字であるとする根拠がここにあります。そして、今では、曲線図形でない場合でも広く一般的に、図形の面積を表すのにSは利用されています。もちろん、面積をSとおくというのは、規則でも強制でもありません。

さて、もう1つ、曲線図形の面積を求める現代的な方法は、積分を使う方法です。
これは、上記のS=ΣSiという表現式で、i=1,2,・・・という分割を無限に続けたときの極限値をもって、その図形の面積とするというものです。
その場合、極限値が存在するなら、各Siは、連続量S(x)に書き換えられて、S=∫S(x)dxと表現されます。
そして、この積分記号(インテグラル記号∫)は、ライプニッツの提案によるもので、
離散量の和の記号Σに対応して、連続量の和として、これまた和を意味するSを縦に伸ばした、イメージ的にも優れた記号と言えます。この事実は、
たとえば、ホームページでは
http://www.nikonet.or.jp/spring/integral/print3.htm
書籍では、
船山良三「身近な数学の歴史」東洋書店,1991,pp.308-313.
などでも述べられています。

ところで、面積がSで表されている場合、書き手によっては、ある「領域(sphere)」の面積を表すという意味で、sphereの頭文字Sを使ったということはあり得ることです。
しかし、残念ながら、squareやsurfaceの頭文字であるとするのは、特別の場合を除いて可能性は低いと考えられます。

一般に、数学の文献では、
「面積」には、通常areaを使います。また、四角形の面積には area of square を、円柱の側面積には surface atea of cylinder を使います。つまり、squareは四角、surfaceは曲面の意味です。
これらは、文献では、
William Dunham"The Mathematical Universe",Wiley,1994.
ホームページでは、
http://www.communicatejapan.gr.jp/yuki/algebra/wordsbook.htm
http://www.monjunet.ne.jp/PT/sampo/006.htm
などでも示されています。

以上、補足です。

No4.の補足です。

歴史的な経緯からすると、繰り返しになりますが、和を表すsumあるいはsummationの頭文字をとったものというのが、数学界での定説です。

同様の見解は、次のURLにも出ています。
三重大学で作った解析学のホームページ内の掲示板での質疑です。
そのものズバリの質問と回答が載っています。
http://www.com.mie-u.ac.jp/~kanie/tosm/keiji04/k_result.htm

そもそも曲線図形の面積を求める方法には2つあります。
(たとえば、野崎昭弘他著「微分・積分の意味がわかる」ベレ出版,2000年...続きを読む

Q分子結晶と共有結合の結晶の違いは?

分子結晶と共有結合の結晶の違いはなんでしょうか?
参考書を見たところ、共有結合の結晶は原子で出来ている
と書いてあったのですが、二酸化ケイ素も共有結合の
結晶ではないのですか?

Aベストアンサー

●分子結晶
分子からなる物質の結晶。
●共有結合の結晶
結晶をつくっている原子が共有結合で結びつき、
立体的に規則正しく配列した固体。
結晶全体を1つの大きな分子(巨大分子)とみることもできる。

堅苦しい説明で言うと、こうなりますね(^^;
確かにこの2つの違いは文章で説明されても分かりにくいと思います。

>共有結合の結晶は原子で出来ている
先ほども書いたように「原子で出来ている」わけではなく、
「原子が共有結合で結びついて配列」しているのです。
ですから二酸化ケイ素SiO2の場合も
Si原子とO原子が共有結合し、この結合が立体的に繰り返されて
共有結合の物質というものをつくっているのです。
参考書の表現が少しまずかったのですね。
tomasinoさんの言うとおり、二酸化ケイ素も共有結合の結晶の1つです。

下に共有結合の結晶として有名なものを挙げておきます。

●ダイヤモンドC
C原子の4個の価電子が次々に4個の他のC原子と共有結合して
正四面体状に次々と結合した立体構造を持つのです。
●黒鉛C
C原子の4個の価電子のうち3個が次々に他のC原子と共有結合して
正六角形の網目状平面構造をつくり、それが重なり合っています。
共有結合に使われていない残りの価電子は結晶内を動くことが可能なため、
黒鉛は電気伝導性があります。
(多分この2つは教科書にも載っているでしょう。)
●ケイ素Si
●炭化ケイ素SiC
●二酸化ケイ素SiO2

私の先生曰く、これだけ覚えていればいいそうです。
共有結合の結晶は特徴と例を覚えておけば大丈夫ですよ。
頑張って下さいね♪

●分子結晶
分子からなる物質の結晶。
●共有結合の結晶
結晶をつくっている原子が共有結合で結びつき、
立体的に規則正しく配列した固体。
結晶全体を1つの大きな分子(巨大分子)とみることもできる。

堅苦しい説明で言うと、こうなりますね(^^;
確かにこの2つの違いは文章で説明されても分かりにくいと思います。

>共有結合の結晶は原子で出来ている
先ほども書いたように「原子で出来ている」わけではなく、
「原子が共有結合で結びついて配列」しているのです。
ですから二酸化ケイ素Si...続きを読む

Q2元2次連立方程式

次の連立方程式の解き方を教えてください。

ax^2+bxy+cy^2=0

dx^2+exy+fy^2=0

ここで、a,b,c,d,e,fは定数とする。2つの未知数に対して、2つの方程式があるので、理論上は解けると思うのですが、自明な解(x,y=0)しか求めることができませんでした。
どなたかこの2元2次の連立方程式の解き方を教えてください。よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

ちょっと自信ありませんが,

ax^2+bx+c=0・・・(1)
の解をα,βとすると
与式第一式は

a(x-αy)(x-βy)=0・・・(3)

同じように
dx^2+ex+f=0・・・(2)
の解をγ,εとすると
与式第二式は

d(x-γy)(x-εy)=0・・・(4)

となります.
式(3)から x=αy ・・・(5) or x=βy ・・・(6)
式(4)から x=γy ・・・(7) or x=εy ・・・(8)
よって,(5)=(7)or(5)=(8)or(6)=(7)or(6)=(8)のどれかが成立しなければ,
(x,y)=(0,0)という自明な解だけになると思います.

問題として

ax^2+bxy+cy^2=g

dx^2+exy+fy^2=h

となっていれば,両式からx^2を消去してxをyで表現し,どちらかの式に代入すれば,yの2次方程式が得られて・・・
という風に解が求まると思います.

Q連立方程式が解ける条件とは

いま、FORTRANで連立方程式を解きたいと思っています。そこで、どんな方程式なら解けるのかということを人に聞いたところ、次の(1)と(2)の場合しか解けないと言われました。

(1)マトリクスの形で表現できるもの
(2)未知数が1つだけのもの

これは本当ですか?(1)と(2)以外の場合は解けないのですか?教えてください。

また、(1)と(2)しか解けない場合でも、そうでない場合でも、その理由を簡単に説明してください。

よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

(1)(2)のような単純な判断にはなりません。
実数または複素数の場合は、次のように考えます。

[ア]未知数がN個ある。
[イ]独立で、矛盾しない方程式がM個ある。

この場合、M>N なら解けません。M≦Nなら解けます。ただし、M<Nの場合は、不定方程式といって、解の中に任意の値をもつ変数が入ります。
(例)2つの未知数x,y について1つの式 x+y=1 がある場合、解はtを任意の値として x=t, y=1-t

「独立」の意味は、ある方程式から別の方程式を導くことができないということです。たとえば、式1と式2から式3が導ける場合、これらは独立ではありません。
(例)x+y+z=3, x-y-z=1, y+z=1 は独立ではありません。

方程式が矛盾する場合は解けません。
(例)x+y=3, x+z=4, z-y=5 は矛盾しています。

変域が限られている(たとえば整数)場合は、特殊な取り扱いが必要です。また、二次以上の方程式では、解が複数ある場合や、複素数なら解があるが実数では解がないという場合があります。

連立一次方程式で、未知数がN個、方程式がM個 の場合は、係数を行列で表わして、
AX=B
A:係数の行列(N行M列) X:未知数の列ベクトル(N行1列) B:定数項の列ベクトル(M行1列)
と書けます。マトリクスとは行列のことです。

行列式とか、行列の階数というものを計算して、解の有無を判定します。どんな場合に解がありどんな場合に解がないのか、という議論は次のページに詳しく書いてあります。
http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/linearalg02/node7.html

参考URL:http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/linearalg02/node7.html

(1)(2)のような単純な判断にはなりません。
実数または複素数の場合は、次のように考えます。

[ア]未知数がN個ある。
[イ]独立で、矛盾しない方程式がM個ある。

この場合、M>N なら解けません。M≦Nなら解けます。ただし、M<Nの場合は、不定方程式といって、解の中に任意の値をもつ変数が入ります。
(例)2つの未知数x,y について1つの式 x+y=1 がある場合、解はtを任意の値として x=t, y=1-t

「独立」の意味は、ある方程式から別の方程式を導くことができないということです。たとえば、式1と式2から...続きを読む


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング