数学って問題読んで条件式立てる時、本当にその式だけで足りる？解けるけど、十分なのだろうか？(じゃあ他

数学って問題読んで条件式立てる時、本当にその式だけで足りる？解けるけど、十分なのだろうか？(じゃあ他に式が立てられるのかと言われれば自分ではわからないけど)と思う時ないですか？解答読んで、まあ、流れはわかるし、解答が間違っているわけではないと思うけれど、なんか納得しない…みたいな時です。(わかりにくかったらごめんなさい)
もし、そういう経験がある方がいらっしゃいましたらどのような思考回路、経験を経て、解消されていったのかを教えていただきたいです。

No.10 回答者： stomachman 回答日時： 2023/01/05 17:20

No.9へのコメントについて。

> ABの解決方法も

　解決したいのなら、必要十分条件を探り、そして、それが必要十分であることを証明する。それ以外にはありません。そのためのとっかかりをどうするか。Aならば、まずはその条件を満たすいろんな（極端な）例を考えて、解になるかどうか調べる。Bならば、その解のどんな特徴がそれを解たらしめているのかを、解にならない例と比較して考えてみると、条件を緩められるかもしれない。

　しかし、お考えの問題が、実はもっと大きい問題の一部分である、という場合には、結果をどう使うかによって、解決する必要がない場合も多々あります。Aなら、解が存在するための必要条件がわかった。すると例えば、そんな条件を満たす候補はないよ、ということが明らかだ、で結論が出る場合がある。Bなら、少なくとも一つは解があると分かった。例えば、それを使ってモノを設計をするとか。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました！
完璧に必要十分性を自分に納得させるため方法には極端な場合を考える、その条件に対する反例との比較、などがあるのですね､､､なんだか終わらない戦いになりそう､､､。
ご教授感謝いたします。

お礼日時：2023/01/05 19:11

No.9 回答者： stomachman 回答日時： 2023/01/02 12:45

> 解けるけど、十分なのだろうか？

ではなくて、
(A) 「解けるような気がしているけど、十分なのだろうか？」
あるいは
(B) 「確かに解けたけど、必要なのだろうか？」
となるんじゃなかろうか。

(A)「 十分なのだろうか？」：「問題を充足するためにはこの条件が成り立たなくちゃいけない」とわかったとすると、それは問題の解であるための必要条件を得たということ。だけど、条件を満たすもののうちには解でないものが混入しているかもしれない。たとえば √x = 1 という方程式から、「 x^2 =1 だ」という条件を得たとすると、これは解であるための必要条件ではあるが、x^2 =1 を満たすxならどれでも解だ、とまでは言えない。この条件だけ考えていて大丈夫なのかなあ。
(B)「 必要なのだろうか？」：問題を充足する答をひとつ見つけると、それは問題の解であるための十分条件を得たということだけれども、まだ他にも解があるかもしれない。たとえば x^2 = 1 という方程式の解として、x=1をみつけたとすると、すなわち、xが1であるという事は x^2 = 1 であるための十分条件である。でも、他に解がないってことは確かなのかなあ。

> なんか納得しない…みたいな

そりゃまた別の話かな。だれかがやった証明が、ちょっと思いつかないようなアイデアを使っていると、え゛ーそれで証明になってるんかしらん、という気分になることがよくある。これはもう、ウンウンうなって納得するまで考えるしかないわけですが。

この回答へのお礼

すごいです！まさに自分の悩みをさらに正確にに表してくれています。もしよろしければABの解決方法もご教授いただけると有難いです。

お礼日時：2023/01/05 17:00

No.8 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/01/02 11:08

#7です。

分かりましたよ。ありものがたりさん。
犬の散歩中に気付きました。

「相場観」ですね。世間一般、40人の中での同じ誕生日の人は「殆どいない～そんなに多くない」と考えていて、「２人もいる」というのは、それより多いということですね。

私は、横軸に人数、縦軸に確率質量をとるグラフを考えていたので、話が噛み合いませんでした。

ありものがたりさんは、私の思考の中での横軸の話をされているのですね？

言葉の解釈は、幾重にもできるので、ホント注意が必要です。

No.7 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/01/02 09:49

期待値部分の主観的確率って、多くの人は「一番高い」だと思いますが、誕生日問題の期待値はそれより低いです。

ポイントは国語力だよ、というのは良く分かるのですが、中央値や期待値の（客観的？）確率と、比較している「主観的確率」ってところの意味・概念が分かりません。

確率については、マジな話、おっしゃっていることが良く分かりません。

ありものがたりさんは、ツッコミが効く人というのは存じ上げていますが、今回のは、私の頭が悪いのか、「ああ、そうだ」という感じにはなりません。

ごめんなさい。とても気になります。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/01/02 09:11

誰も最頻値なんて言うてないやろ...

「誕生日問題」の内容を理解していれば、①②の内容が
「確率が高い」＝「主観的に設定したある確率より高い」
であることは知っているはず。
自分の頭の中だけで考えて突っ走る前に
テキストに書いてあることはちゃんと読み取ったほうがいい。
ポイントは国語力だよ...というのが、そもそも No.1 の趣旨。

No.5 回答者： kairou 回答日時： 2023/01/01 14:38

＞問題読んで条件式立てる時、本当にその式だけで足りる？

それは 読解力を高めるしかないでしょうね。
比較的 分かり易い方法としては、
問題文の意味を変えずに 違う言葉に書き換えてみる事。
（これは 学生時代に 実践したことです。）

＞解答が間違っているわけではないと思うけれど、なんか納得しない

普通 問題の解き方は 複数ある筈です。
テストの最中では無理かもしれませんが、
別の考え方で 答えを 導いてみるのは どうでしょうか。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
意味を変えずに違う言葉で書き換える、この方法いいですね！やってみます！

お礼日時：2023/01/01 14:59

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/01/01 13:36

#3さんは勘違い例を示して下さったのしょう。

「確率が高い」わけじゃ無いんです。

世間の大方の慌て者は、この記述を読んで、
①40人のクラスでは2日分の誕生日が重複している「確率が高い」。
②23人調べれば、誕生日の重複が発見できる「確率が高い」。
と解釈しちゃうんですよ。

でも、違うのです。
確率が最大になる人数は、もっと小さい。

・横軸にクラス人数を取ると、重複が混じっている確率ｐは単調増加で増えていきます。多数のクラスがあると、このpをパラメータとした二項分布になっています。
・それで、確率ｐから「期待値」を求めると、40人クラスでは「期待値」npが２になるんです。
・ところが、多数の学級があると、そのうち半数は23人で重複が出る。これは累積確率が1/2を越える人数「中央値」です。実は期待値が１になるのは28人クラスですから、それより少ない人数で重複が観測されます。

クラス人数を固定してグラフを描くと、ちょうど世帯年収のグラフのように、最頻値＜中央値＜期待値になっています。

「確率が高い」最頻値というのは、ここでは無関係です。

これが時間が無くて理解できない時は、解答例に示してあるものを暗記するしか無いですね。私は60過ぎていて時間があるから、納得するまで考えています。

なお、添付図の中央値メディアンの算出は、二項分布では計算できないので、ポアソン分布で近似しています。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/01/01 10:20

ほら、実例が。

文章をちゃんと読まないと、落とした言葉で意味が変わってしまう。
①’ 40人のクラスでは2日分の誕生日が重複している「確率が高い」。
②’ 23人調べれば、誕生日の重複が発見できる「確率が高い」。
誕生日の重複が確実に発見できるできるためには 366人が必要。
簡単な問題に関する混乱の多くは、数学よりも日本語に関するものだ。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
読解力ですね…

お礼日時：2023/01/01 15:01

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/12/31 23:29

あります。

特にこじつけみたいな解答例って、納得できないです。

「誕生日問題」という有名な問題があり、
①40人のクラスでは2日分の誕生日が重複している、とか、
②23人調べれば、誕生日の重複が発見できる
ということで、それぞれ計算式が示されていて、解けることは分ったのですが、なんか納得できなかった記憶があります。

そのときは、気持ち悪かったので自分で問題の設定を見直し、二項分布を用いて、①は期待値、②は中央値（ポアソンで代用）で解けるということを見出しました。

このように、数学は解法が違っても同じ解が出るので、解答の例として出ているものでは納得できないケースがあります。

思考回路・経験というか、自分が習得している知識（このときは確率分布）を使って疑問を解消するしかないと思います。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
論理構造理解の過程で発生した疑問点は、しっかりわかっている知識とかで検証してみるなどの試行錯誤をして解消するのですね。で、今度は自らの手でその論理を組み立てられるようにする。
そして、どうしても、理解不能な場合は人に聞く又は、時間がなさすぎる場合は、その論理を一旦は無理矢理にでも暗記してしまう。(応用が効かなさそうですけど) というふうに、使い分ければいいですかね？

お礼日時：2023/01/01 10:10

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/12/31 22:25

ちゃんと問題文を読む。

それ一択。