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媒介変数を消去する前後の同値関係について

締切済

  • 質問者：cfr6
  • 質問日時：
  • 回答数：2件

理学部の大学1年生です。
家庭教師の予習のために以下の問題を予習したところ、模範解答でわからないところがあるので、質問させてください。

問題：t が実数全体を動くとき、x=-1+t、y=1-2tで定義される点(x, y) はどんな図形を描くか。

模範解答：
実数x, y に対して、x=-1+t、y=1-2tを満たす実数t が存在する。
⇔実数x, y に対して、t=x+1、y=1-2tを満たす実数t が存在する。 ・・・(1)
⇔y=1-2(x+1)=-2x-1 ・・・(2)
が成り立つので
{ (x, y) | x=-1+t、y=1-2tを満たす実数t が存在する } = { (x, y) | y=-2x-1 }
即ち、求める図形は直線y=-2t-1である。

質問：上の模範解答中の(1)⇔(2)の同値関係が成立する理由がわかりません。
(1)⇒(2)が真である理由、(2)⇒(1)が真である理由に分けて教えてください。
よろしくお願いします。

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A 回答 (2件)

No.2

  • 回答者： tknakamuri
  • 回答日時：

１→２


2式からtを消去
２→１
x,yよりtが計算で一意に求まるから。
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No.1

  • 回答者： berokanda
  • 回答日時：

もしその模範解答があなたの書いた通りであれば、


その「模範」解答は見なかったことにしてあなたが
最初から解答を作りなおしたほうがいいと思いますよ。

ヒント：集合AとBについて、A=B⇔A⊃BかつA⊂B

参考までになんという問題集なのか教えてもらえますか？
私なら別のを探しますね。
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Q媒介変数で表わされた関数のグラフ

曲線{x=cosΘ(-π<=Θ＜=π)の概形を書け（凹凸は調べなくてよい。）
　　　y=sin2Θ
基本はΘの消去。y^2=sin^2Θ=4sin^2Θcos^2Θ=4(1-cos^2Θ)cos^2Θから
y^2=4x^2(1-x^2)となり、概形を書くことができる。

教えてほしいところ
両辺正でないと２乗したら同値性崩れますよね？？？
今回、２乗したのにもかかわらず、同値性が崩れないといえる理由を説明してほしいです。

Aベストアンサー

基本中の基本として、
媒介変数を消去した式は、十分性を欠く可能性があります。

二乗したら云々の話ではなく、θ を消去したら、
得られた曲線の全体が軌跡であるかどうかを
確認しなくてはいけません。
軌跡は、得られた曲線の一部だけかもしれません。
例えば、
　　x = cos θ
　　y = sin θ
　　0≦θ≦π/6
のとき、貴方の解法がどうなるか考えてみましょう。
θ を消去しただけの式が必要十分でないのは、
二乗したことが原因ではありませんね？

さて、質問の例に戻って、
y^2 = 4x^2(1-x^2) 全体が解であることを示すには、
この曲線上の (x,y) について対応する θ が常に存在すること
を示せばよいです。

y^2 ≧ 0 より 4x^2(1-x^2) ≧ 0 となって 0 ≦ x^2 ≦ 1。
-1 ≦ x ≦ 1 より x = cos θ (-π ≦ θ ≦ π) と表す
θ は存在します。これを y^2 = 4x^2(1-x^2) に代入すると
y = sin(2θ) になることを示せば、完了です。
ひとつの x にふたつの θ が対応しますが、そのことが
y の符号にどう影響するのか理解できれば ok でしょう。

基本中の基本として、
媒介変数を消去した式は、十分性を欠く可能性があります。

二乗したら云々の話ではなく、θ を消去したら、
得られた曲線の全体が軌跡であるかどうかを
確認しなくてはいけません。
軌跡は、得られた曲線の一部だけかもしれません。
例えば、
　　x = cos θ
　　y = sin θ
　　0≦θ≦π/6
のとき、貴方の解法がどうなるか考えてみましょう。
θ を消去しただけの式が必要十分でないのは、
二乗したことが原因ではありませんね？

さて、質問の例に戻って、
y^2 = 4x^2(1-x^2) 全体が解であること...続きを読む

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Q２乗しても同値性が崩れないときと崩れるとき

２乗しても同値性が崩れないときともう一つの解が割り込んできて同値性が崩れるときはそれぞれどのような場合なのでしょうか。よく方程式の両辺を２乗してルートをはずしたり、代入しやすくしたりすると思うのですが、問題をやっていて「ここで２乗してもいいのかな？」といつも迷ってしまいます。このようにならないためにはどのようなことに気をつければよいのでしょうか。

例）；２乗してもいいとき

X=-1/2(α+β){[(α+β)^2]-1}・・・(1)
Y=3/4[(α+β)^2]+3/4・・・(2)

ここでXとYの関係式を作るために(2)を(α+β)^2=・・・の形にして置いて・・・(2)”、(1)の両辺を２乗して(α+β)^2を作り出しておいてから(2)”を(1)に代入するというものです。

Aベストアンサー

ＯＫじゃ！ｘ実数⇒ｔ実数はよいが、その逆、ｔが実数→ｘ実数はかならずしも成り立たない。このことに気がつくだけでも良かったのだが、ちゃんと解答を作るとは！

ｘ実数⇔ｔ実数かつ（ｔは正または０）　　
つまり、式の一部を他の文字に置き換えると、同値関係が崩れることがあるということ。解決法は、おきかえた式に戻って検討するだけ。解答はs-wordさんのでＯＫ！

＜まとめ＞
同値関係が崩れる可能性のあるパターン
１．分母を払うとき
２．等式、不等式の両辺を平方するとき
３．２つの等式、不等式を加減するとき
４．式の一部を他の文字で置き換えるとき

s-wordさんの謎もこれで解決したはず。２乗（平方）したら、同値関係は崩れると思ったほうが良い。代入（加減）も同じ。（もちろん、崩れない場合もある）解決法は、平方の場合は、最初の条件にもどって検討する。代入（加減）の場合は、代入した式に戻って検討する。

ちなみに、７の問題は大変な良問で、いろいろな解法が出来ます。私はパラメ－タａを分離して、解決しました。これは、受験数学のテクニックのひとつで、ａとｘが伴って変わらくて、しかもａとｘを分離することが容易な場合に威力を発揮します。また、ｘについての二次方程式でもあるので、判別式を利用して解くことも出来るし、さらにｓ－ｗｏｒｄさんの解で、特殊な絶対不等式を使うことも出来る。この絶対不等式は、私は気づきませんでした。問題の型を見た瞬間に、パラメタ分離→微分して調べるという構図が浮かんでしまったからです。某料理会の○皇様が、料理は工夫しすぎるということはない。さらなる工夫をもって精進せいよなどどと言っていたのを思い出しました。まったく数学は奥が深いのう。

ＯＫじゃ！ｘ実数⇒ｔ実数はよいが、その逆、ｔが実数→ｘ実数はかならずしも成り立たない。このことに気がつくだけでも良かったのだが、ちゃんと解答を作るとは！

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つまり、式の一部を他の文字に置き換えると、同値関係が崩れることがあるということ。解決法は、おきかえた式に戻って検討するだけ。解答はs-wordさんのでＯＫ！

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１．分母を払うとき
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Qパラメータ消去について

tがすべての実数値をとって変化するとき、Ｐ(2t-1,(4^2)-1)の軌跡を求めよ

というものについて、Ｐの座標を(X,Y)とおくと
X=2t-1 Y=(4^2)-1　と置けますよね、　そこでＸを式変形してt=に直し、Ｙの式に代入しパラメータ消去する　というのはよくやることで、何も考えずにやっていましたが。パラメータtが消去されちゃうってことはどういうことなんでしょうか・・・？

tによってx,yが定まるのにｔを消しちゃっていいのか？　tがなくなったということはtによらない関数だということか？　けどパラメータというのは、tの値によって、x,yが変動するものだから、tは必要だ。あくまでもその軌跡がもとめられただけだ・・・　などと考えてましたが・・・。

☆つまり何がいいたいかというと、X= ～t　,Y= ～t とパラメータ表示されているものの軌跡の取りかたは、本質的な意味では、t=1,2,3・・・　などと点を細かくとっていき、それでできる方程式が軌跡である。ということだと思うのですが、t=～Xの式に直し、パラメータを消去しちゃったら、tにすべての値を代入した時のグラフ（軌跡）がいっきに求まってしまうとは・・・　なぜなんだろう・・・？と疑問に思いました。

☆あと別の問題ですが、軌跡を求める問題で、軌跡の方程式が、(X^2)+(Y^2)+4X=0とまで変形できたときに円だ、とピンとくるべきですよね。x^2 y^2 が含まれていたら円だ！と思っていいでしょうか？
楕円とか、双曲線ってのも問題によってはあるんでしょうか・・・？

ちなみに高３です・・・　よろしくお願いします

tがすべての実数値をとって変化するとき、Ｐ(2t-1,(4^2)-1)の軌跡を求めよ

というものについて、Ｐの座標を(X,Y)とおくと
X=2t-1 Y=(4^2)-1　と置けますよね、　そこでＸを式変形してt=に直し、Ｙの式に代入しパラメータ消去する　というのはよくやることで、何も考えずにやっていましたが。パラメータtが消去されちゃうってことはどういうことなんでしょうか・・・？

tによってx,yが定まるのにｔを消しちゃっていいのか？　tがなくなったということはtによらない関数だということか？　けどパラメータとい...続きを読む

Aベストアンサー

tを消去したから、ｘ、ｙがｔと無関係になったというわけではありません。ｔを消去した結果得られた式は、ｔを－∞から∞に変化させたとき、点Ｐが通ったあと、すなわち軌跡を現しているにすぎません。

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Q連立方程式を代入法で解くか、同値変形で解くか

二つの連立方程式
2x-y-1=0
x+y-2=0
を解くにあたって、
上の式は
3x-3=0
x+y-2=0
と同値である。
と言われたのですが、
私には同値変形と代入法の違いが分かりませんでしたし、
また同値変形したときに、"3x-3=0かつx+y-2=0"のように２式を足したもの(または引いたもの)かつ元の式いずれかになるのかも分かりません。
どなたか説明して頂ければ幸いです。

Aベストアンサー

こんばんは。

「同値変形」という言葉は初めて聞きましたが、
しかし、わかりましたよ。

「同値」というのは、論理で出てくる「同値」と同じことです。
記号で言えば、「≡」や「⇔」のことです。

つまり、
2x-y-1=0
x+y-2=0
という連立一次方程式は、
２つの式の加減法で求めた3x-3=0を2x-y-1=0の代わりに用いて
3x-3=0
x+y-2=0
と書いても同値であるし、
２番目の式をｘについて解いたx=-y+2を用いて
2x-y-1=0
x=-y+2
と書いても同値です。

つまり、加減法も代入法も、同値変形の一種です。

元々２本の式しかありませんから、加減法や代入法で出てきた式を使って３本以上の式を「作成」しても、そのうち独立なものは２本しかありません。
たとえば、
2x-y-1=0
x+y-2=0
3x-3=0
という３本の式のうち、１本は使わなくても解けてしまいます。
（つまり、１本捨てた残りの２本が、元の方程式と「同値」です。

また、
たとえば、２番目の式と、それを２倍にしたものだけで
x+y-2=0
2x+2y-4=0
という連立方程式を「作成」しても、答えは出ません。

まとめると、
同値変形とは、
「互いに独立なｎ本の一次方程式からなるｎ元連立一次方程式を、
　そのｎ本の式のどれかを使って、
　ほかの、互いに独立なｎ本の方程式からなる連立方程式に
　変形すること。」


ただし、
「余分な式」であっても、方程式を解く計算途中で用いることは、いっこうに構いません。

こんばんは。

「同値変形」という言葉は初めて聞きましたが、
しかし、わかりましたよ。

「同値」というのは、論理で出てくる「同値」と同じことです。
記号で言えば、「≡」や「⇔」のことです。

つまり、
2x-y-1=0
x+y-2=0
という連立一次方程式は、
２つの式の加減法で求めた3x-3=0を2x-y-1=0の代わりに用いて
3x-3=0
x+y-2=0
と書いても同値であるし、
２番目の式をｘについて解いたx=-y+2を用いて
2x-y-1=0
x=-y+2
と書いても同値です。

つまり、加減法も代入法も、同値変形の一種で...続きを読む

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Q軌跡の問題の答え方

軌跡の問題を解いているのですが、
軌跡の方程式を導いたあと、逆にそのとき条件を満たすことを示すように。
と参考書に書いてあるのですが、たとえば点Ｐの軌跡(直線)を求めるときの解答では、
「逆に、この直線上の任意の点Ｐは、条件を満たす。」
とあるのですが、これはただ満たすという事実を書くだけで、証明のようにはしなくてよいのでしょうか？
それなら、こんなことを書くぐらい誰だってできるので省略して良い気がするのですが…

Aベストアンサー

あまり高校の参考書では触れられていないのですが、
>「逆に、この直線上の任意の点Ｐは、条件を満たす。」
といった言葉を書くか、書かないかはどうのようにして解いたのかによるのです。

詳しくいうと、例えば点の軌跡を求める際に同値変形をして求めたならば書かなくていいです。しかし、必要条件を用いて点の軌跡を求めたのなら、やはり上のような言葉を書く必要がありますし、厳密には逆を証明しなくてはなりません。

つまり、軌跡の問題に限らず他の数学の問題でもそうですが、同値な条件を常に意識するということが大切です。特に軌跡などの問題では、同値性を意識しないと全く答えが合わないことがあるので要注意です。この意識があると数学の理解がぐっと深まります。

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Q軌跡と存在するための条件について

疑問に思ってしまったので、どうかよろしくお願いします。

問題）2直線mx-y+4m+21=0、x+my+3m-14=0の交点の軌跡を求めよ。

答え）点（X,Y）が求める軌跡上の点であるための条件は、
mX-Y+4m+21=0 かつ X+mY+3m-14=0
を満たす実数ｍが存在することである。上式をmについて整理すると、
(X+4)m-Y+21=0------(1)　かつ　X-14+(Y+3)m=0------(2)
となるから、その条件は、

その1) X+4≠0のとき、(1)によって定まる定数m=(Y-21)/(X+4)が(2)を満たすこと、
すなわち、X-14+(Y+3)・(Y-21)/(X+4)=0
∴(X-5)^2+(Y-9)^2=15^2----(3)（ただし、X≠-4より(-4,-3),(-4,21)は除く)

その２）X+4=0のとき(1)を満たす実数ｍが存在するための条件は、(X,Y=(-4,21)

以上により、求める軌跡は、円(x-5)^2+(y-9)^2=15^2、ただし、点(-4,-3)は除く


疑問点）(1)かつ(2)の条件を求めるときに、「mが存在するためのX,Yの条件を求めるのに、mを消去して得られる」との事なのですが、いまいちこの技術が見えません・・・どうしてｍを消去することにより、ｍが存在するためのX,Yの条件が求まるのでしょうか。

良く、参考書には「文字定数を消去することにより出来た方程式で、その軌跡を得ることになる」とありその通りに使っていたのですがどういう事が起きているのか良く分からないのです・・・

高校数学のレベルなら、その通り覚えて使っていくほうが良いのでしょうか？

疑問に思ってしまったので、どうかよろしくお願いします。

問題）2直線mx-y+4m+21=0、x+my+3m-14=0の交点の軌跡を求めよ。

答え）点（X,Y）が求める軌跡上の点であるための条件は、
mX-Y+4m+21=0 かつ X+mY+3m-14=0
を満たす実数ｍが存在することである。上式をmについて整理すると、
(X+4)m-Y+21=0------(1)　かつ　X-14+(Y+3)m=0------(2)
となるから、その条件は、

その1) X+4≠0のとき、(1)によって定まる定数m=(Y-21)/(X+4)が(2)を満たすこと、
すなわち、X-14+(Y+3)・(Y-21)/(X+4)=0
∴(X-5)^...続きを読む

Aベストアンサー

専門ではありませんが，回答が出ないようなので。

与えられた2式は，ｍの値が連続的に変わるにつれて表す直線が変わり
そのために交点が動いていくわけですね。ですから，ｍを消去する
ことでｍの値にかかわらない（X,Y)の関係すなわち軌跡が求まる
わけです。これは，ちょうど媒介変数表示で媒介変数を消去して
直接的な関係を求める操作と似ています。たとえば，
　x=r cosθ
　y=r sinθ
において媒介変数θを消去して，x^2 + y^2 = r^2 を得るという
ようなことです。

一方，ｍを消去する過程でx+4≠0（またはy+3≠0）を前提しなければ
ならないので，じゃあx=-4（またはy=-3）のときはどうなるのか？
を検討しなければならないというわけです。すると円周上の点(-4,-3)
はいかなるｍをとっても(1)かつ(2)を満たさず，どんな場合の交点
にもなりえないことがわかるのです。

高校数学のレベルだからこそ，納得をすることが大切でマニュアルに
流れてしまうと本物の力になりません。がんばってください。

専門ではありませんが，回答が出ないようなので。

与えられた2式は，ｍの値が連続的に変わるにつれて表す直線が変わり
そのために交点が動いていくわけですね。ですから，ｍを消去する
ことでｍの値にかかわらない（X,Y)の関係すなわち軌跡が求まる
わけです。これは，ちょうど媒介変数表示で媒介変数を消去して
直接的な関係を求める操作と似ています。たとえば，
　x=r cosθ
　y=r sinθ
において媒介変数θを消去して，x^2 + y^2 = r^2 を得るという
ようなことです。

一方，ｍを消去する過程でx+4...続きを読む

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Q同値性の崩壊

定円x^2+y^2=r^2の周上を点Ｐ(x,y)が動くとき,座標が(y^2-x^2xy)で表される点Ｑはどんな曲線を動くか。

x^2+y^2=r^2から,P(x,y)とするとx=rcosΘ,y=rsinΘと表される。Q(X,Y)とすると
X=y^2-x^2=-r^2cos2Θ
Y=r^2sin2Θ
よってX^2+Y^2=r^4(cos^22Θ+sin^22Θ)=r^4
ゆえに,点Ｑは円x^2+y^2=(r^2)^2の周上を動く。

教えてほしいところ
この問題を解き方が違和感があります。
X=y^2-x^2=-r^2cos2Θ
Y=r^2sin2Θ
を両辺正でなければ２乗してしまうと同値性崩れますよね？
また、２乗したものをそのまま足す場合、同値性は崩れる心配はないんですか？？
この問題を上のように解いて、同値性が崩れる心配がないもしくは同値性が保たれるのは自明である理由を教えてください。

Aベストアンサー

円x^2+y^2=r^2を円A,円x^2+y^2=(r^2)^2を円Bとする。
点P(x,y)が円Aの円周上をぐるぐる回って、それに応じて点Qが決まる。
その回転が左(右)回りならx=rcosΘ,y=rsinΘのΘが増加(減少)するということなので、Θは実数全体を動く。
点Q(X,Y)のX=-r^2cos2Θ,Y=r^2sin2ΘのΘはPの座標を決めるΘによって決まるΘなので,こちらも実数全体を動く。
このことから、ある点T(x,y)についてx=-r^2cos2Θ,y=r^2sin2Θなら点Tは点Qであるといえる。

質問の同値性を示すには、円Bの円周上の任意の点は点Qである、ということが証明できればよい。
流れだけいうと、円Bの円周上の点x=r^2cosΘ,y=r^2sinΘ,からx,yを上の形に変形できればよい。変形については回答3が参考になる。

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Q比較級　than SV　について

こんにちは。比較級を勉強しているのですが、以下の文で
thanの後がSVになる場合とそうでない場合の違いがわかりません。
どういう時に than SV になるのか教えていただけると助かります。

〈thanの後がSVにならない場合〉
She walks more slowly than other girls.
He can speak English better than me.
Tom got to the station earlier than his friends.

〈thanの後がSVになる場合〉
He read the book more carefully than I did.
My brother studies much longer than I do.
Do you study harder than he does?

よろしくお願いします！

Aベストアンサー

こちらでいろいろな考えが出てきています。

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/1654320.html

単純にいうと，接続詞か前置詞か。
さらに接続詞なら省略も含まれる。
さらには，接続詞と言っても従属接続詞的な場合もあれば等位接続詞
的な場合もあり，関係代名詞的なものもある。

than the record のように接続詞的には説明できず，
句構造（前置詞）としか考えられないものが出てくる。

He is taller than me.
は長い間，日本では誤りだとされてきました。
he is tall と I am tall と比べるんだから I という主格。

現実には He is taller than I. という英語は避けられ，
He is taller than I am.
とするか，
He is taller than me. とする。

than me というのはネイティブにとっては極めて普通の英語です。

He likes her better than he likes me. の省略が
He likes her better than me. だという意見もよく見ますが，
He likes her better than I like her. も
He likes her better than me. と言えます。

まさしく，日本語の「彼は私より彼女の方が好きだ」という日本語で
「私より」が「彼は」との比較か，「彼女を」との比較か
あいまいになるのと同じ。
than me というのはそういう表現です。

上であげた質問の回答にもありますが，than ～は先に表現ありき，
文法の説明は後付け。

こちらでいろいろな考えが出てきています。

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/1654320.html

単純にいうと，接続詞か前置詞か。
さらに接続詞なら省略も含まれる。
さらには，接続詞と言っても従属接続詞的な場合もあれば等位接続詞
的な場合もあり，関係代名詞的なものもある。

than the record のように接続詞的には説明できず，
句構造（前置詞）としか考えられないものが出てくる。

He is taller than me.
は長い間，日本では誤りだとされてきました。
he is tall と I am tall と比べるんだから I という主格...続きを読む

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Q極座標での負の概念が分かりません

「原点Oを中心とする半径1の円周Cがxy平面上にある。
この平面上の点P(P≠O)からx軸に下ろして垂線の足をQ,
直線OPとCとの交点のうち、近い方の点をRとする。
(1)点Pを極座標(r,θ)として、線分PRの長さをr,θを用いて表せ。」
という問題の答えにPR=｜r-1｜とあるのですが、
なぜ｜｜r｜-1｜で無いのか分かりません。
極座標なのでr<0のときはCとの交点のうちの遠い方の点との長さを
指してしまうんじゃないんでしょうか？
r<0のときは(-r,θ)=(r,θ+π)で考えられると言われましたが、いまいち納得出来ません。
r<0は考えなくていいんですか？
教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

捕捉に対する回答
　まずr<0の問題があるということですが，これはおそらく「r<0とすると都合が悪い」ことの例を示しているのではないでしょうか．

>平面上においてはr≧0と定義してしまって構わないのでしょうか？
　はい，そう定義するのが主流です．ちなみに三次元には球座標，さらにn次元にはn次元球座標が存在しますが，そのときもr≧0とすることが多いです．

>もしそうでしたらその際に正と定義することを言う必要はありますか？
　いったほうが丁寧ですが，受験などにおいては常識となっているので言わなくても大丈夫な気がします．

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