最小公倍数の求め方

高校で、最小公倍数の求め方を習いました。
素因数分解をし続けたらわかる！ということでした。

最大公約数は、その組の共通の素因数というのは理解できます。
ですが、最小公倍数はよくわからないです。

回答よろしくお願いいたします。

No.3 ベストアンサー 回答者： mattsu0730 回答日時： 2013/10/22 18:11

aとbの最小公倍数の求め方について述べます。

最大公約数の求め方が分かるようなのでそれを利用します。

aとbの最大公約数をp(求まっているものとします。),
aとbの最小公倍数をqとすると、
q = a * b / p
で表すことができます。


簡単に証明します。
厳密ではないですが、「へぇ」と思える程度で理解して下さい。

aとbはpで割り切ることができるので、
a = np
b = mp
と表せます。
するとnとmは1以外の公約数を持たないので、
q = nmpで表せます。
q = np * mp / p
= a * b / p

No.6 回答者： birth11 回答日時： 2013/10/22 23:37

図で描いてみました。

No.5 回答者： sirayaki 回答日時： 2013/10/22 18:38

　公倍数とは、共通の倍数と言う意味です。

例えば、3と4 それぞれの倍数は
3　→3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, …
4　→4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, …
ですから、共通の倍数は、12, 24, 36, …となります。この共通の倍数の中で「最も小さい共通の倍数」12 を最小公倍数といいます。
　余分なことですが、共通の倍数は「最小公倍数の倍数」、つまり12の倍数になっています。 　

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2013/10/22 18:33

素数に小さいほうから番号 i を付けて p_i とし、

A の素因数分解における素数 p_i の指数を a_i、
B の素因数分解における素数 p_i の指数を b_i
(a_i, b_i は自然数または 0) とすると、
A, B の最大公約数の素因数分解における
素数 p_i の指数は a_i, b_i の小さい方、
A, B の最小公倍数の素因数分解における
素数 p_i の指数は a_i, b_i の大きい方になる。

例えば、24 = (2^3)(3^1) と 20 = (2^2)(5^1) の
最大公約数は、{2^(2と3の小さい方)}{3^(1と0の小さい方)}{5^(0と1の小さい方)}
= (2^2)(3^0)(5^0) = 4。
最小公倍数は、{2^(2と3の大きい方)}{3^(1と0の大きい方)}{5^(0と1の大きい方)}
= (2^3)(3^1)(5^1) = 120。

理由は、p^n が p^m で割り切れるためには
n と m の大小関係がどうなっていればよいか
を考えれば、解る。

計算に使った素数 2, 3, 5 をどこから持って来たか
と言えば、別に 2, 3, 5 に限る必要はなくて、
24 = (2^3)(3^1)(5^0)(7^0)(11^0)(13^0)…
20 = (2^2)(3^0)(5^1)(7^0)(11^0)(13^0)…
と沢山持って来てもいい。ただ、両方の数で指数が
0 になってる素数には、あまり興味が無いだけの話。

No.2 回答者： chie65535 回答日時： 2013/10/22 17:15

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/math/m3gcm1.htm

No.1 回答者： OKWaveGT5 回答日時： 2013/10/22 17:06

整数Aと整数Bの最小公倍数は整数A×（整数Aに無くて整数Bにある素因数）

１２と３６の最小公倍数はは１２×３（３は３６に２個あるけど１２には１個しかないので）