公約数・公倍数の性質

a,bの任意の公約数dがa,bの最大公約数Gの公約数であることを示す際にdとGの最小公倍数がGになることを持って証明できたとしているサイトがありました。（参考︰https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j …）

本当にこれらは同値なのでしょうか？自力でも示そうとしたのですが、d,Gの最小公倍数がGならばdがGの約数の向きの証明ができません…逆方向の証明は一応できたのですがそこそこ長くなってしまいました。
同値であることの証明を（流れだけでも）教えていただけると幸いです。

質問者からの補足コメント

• ありがとうございます！因みに逆向きの証明ってこのくらい短くできますか？
  私はG＝(a_1,a_2,…a_n) (a_1,…a_nは整数）
  としてG|a_1 …G|a_nからa_i＝s_iG（i∈{1,2…n},s_iは整数）と表し、G'<Gでa_1|G'～a_n|G'が成り立つようなG'の存在を仮定し背理法で示しました。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/10/14 08:43

• 定義したつもりでするのを忘れていました。a_1からa_nまでの最大公約数のつもりです。
  逆向きというのは
  「dがGの約数⇒dとGの最小公倍数はG」のことです。dとかGは質問本文と同じです。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/10/14 14:45

No.4 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/10/15 12:10

ん～....

「dがGの約数⇒dとGの最小公倍数はG」なら
・d は G の約数だから (G は d の倍数なので) G は d と G の公倍数
・G より小さな (正の) G の倍数は存在しない
・だから d と G の最小公倍数は G
でいいんじゃね?

この回答へのお礼

何度もお答え頂きありがとうございます！！助かりました！

お礼日時：2022/10/15 13:56

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/10/14 11:21

「逆向きの証明」というのは, 具体的にはどのような命題をどのように証明しようとしているということ?

確認だけど「G＝(a_1,a_2,…a_n)」ってどういう意味?

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/10/13 12:42

a,bの公倍数をcとすると、c=ma=nb [a,b,m,nは自然数]

∴m=c/a、n=c/b

ここで、cをbと読み替えると、m=b/a ⇒ bはaで割り切れる⇒ aはbの約数

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/10/13 11:43

d と G の最小公倍数が G ⇒ G は d の倍数 ⇒ d は G の約数.