今更で申し訳ないのですが、疑問が2つあります。 ①g(z)=tan(z)(z-π/2)でz→π/2(

今更で申し訳ないのですが、疑問が2つあります。

①g(z)=tan(z)(z-π/2)でz→π/2(z=π/2)の時は、g(z)の式は収束する為、コーシーの積分定理によってa(n)は0になると思ったのですが、なぜ画像のようにa(n)の式が作れるのでしょうか？


②g(z)の式が発散する時は、コーシーの積分定理によりa(n)は0とはならず、a(n)の式は作れます。
しかし、a(n)の式は発散するg(z)を含む為、a(n)の式は発散してしまいます。
なぜ発散するa(n)の式からa(n)の値が導けるのでしょうか？

どうか分かりやすく教えて頂けないでしょうか。
どうかよろしくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• ありがとうございます。
  
  あの、f(z)=1/(z^2-1)に関しては、n≧-1の時にz=1でn+2位の極を持つ為、コーシーの積分定理によりa(n)は0にならず、
  
  すなわち、z=1の時に発散するg(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}の式を含むa(n)の式は発散して=∞になると思ったのですが、赤い下線部のように導けました。...③
  
  そして、このa(n)の式にn≧-1より、例えばn=-1を赤い下線部の式に代入しても発散せずにn=-1の時の値が導けます。...④
  
  上記の③と④において、なぜ発散しないのでしょうか？

  
    補足日時：2024/05/08 11:55

• 度々申し訳ありません。
  
  Res(f(z),c)=lim_{z->c}(z-c)f(z)の公式はf(z)がk=1の極を持つ時に使える式だったと思うのですが、
  f(z)=tan(z)はz→π/2(z=π/2)の時にk=1の極を持つ為、Res(f(z),c)=lim_{z->c}(z-c)f(z)の公式が使えて、
  
  Res(f(z),π/2)=lim_{z->π/2}(z-π/2)tan(z)と導けますが、これは正しいのでしょうか？
  
  仮に正しくない場合は何が正しくないのかをどうか教えて頂けないでしょう。
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2024/05/08 12:45

• >>a(n)={1/(n+1)!}lim{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)dz
  は
  あくまでも
  g(z)=tan(z)(z-π/2)
  の
  テイラー展開の公式なのです
  
  なぜa(n)={1/(n+1)!}lim{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)dzはテイラー展開の公式なのでしょうか？
  
  どうか理由を教えて頂けないでしょうか。
  
  
  また、Res(f(z),c)=lim_{z->c}(z-c)f(z)に関する補足の質問にも答えて頂けるとありがたいです。
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2024/05/08 14:20

• mtrajcp様やありものがたり様の解答を読むに、
  今までf(z)=1/(z^2-1)やf(z)=tan(z)のローラン展開を導く際に、a(n)の式を使って導くと質問の①や②のような問題が起きる為、a(n)の式からf(z)=1/(z^2-1)やf(z)=tan(z)のローラン展開の式を導いていた訳ではなく、
  
  ①や②のような問題が起きないようにする為に、
  正則の時にf(z)=1/(z^2-1)やf(z)=tan(z)のテイラー展開の公式によって導いた近似式がf(z)=1/(z^2-1)やf(z)=tan(z)のローラン展開のnが0や正の範囲での近似式と同じ式である為、

    補足日時：2024/05/09 04:38

• f(z)=1/(z^2-1)やf(z)=tan(z)のテイラー展開の公式によって近似式を導いてから、次項をずらしてnが0や正の範囲だけではなく負の範囲でも展開した近似式を作り、
  その近似式はnが0や正の範囲だけではなく負の範囲でも展開する為、
  結果的にf(z)=1/(z^2-1)やf(z)=tan(z)のローラン展開の近似式を導いたと言う事でしょうか？

    補足日時：2024/05/09 04:38

• https://imepic.jp/20240422/502940
  においての画像のg(z)=(z-π/2)tan(z)に関して質問があるのですが、
  「g(z)=(z-π/2)tan(z)はz=π/2で正則ではない。」と書いてありますが、
  z=π/2の時にg(π/2)=(z-π/2)tan(z)=-1と収束する為、g(z)=(z-π/2)tan(z)はz=π/2で正則だと思うのですが、
  なぜ「g(z)=(z-π/2)tan(z)はz=π/2で正則ではない。」となるのしょうか？

  
    補足日時：2024/05/09 17:05

• 積分の入ったa(n)以外のmtrajcp様に教えて頂いた今まで使っていたa(n)の式はテイラー展開の次項の係数を求める為の式だったという事で正しいでしょうか？
  だとしたらテイラー展開の公式からres(g(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)を導くまでの過程の計算を教えて頂けないでしょうか。

    補足日時：2024/05/10 05:33

• 4,2024.5.10 10:22に頂いた解答の
  「gn(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
  g0(z)=tan(z)(z-π/2)」
  に関して質問があるのですが、
  
  gn(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)ならば、n=0の時はg0(z)=tan(z)(z-π/2)ではなく、g0(z)=tan(z)/(z-π/2)となるのではないでしょうか？
  なぜg0(z)=tan(z)(z-π/2)となるのかわかりません。

    補足日時：2024/05/11 16:33

• 5,2024.5.9 17:30に頂いた解答より積分を含んだa(n)の式においては質問に載せた①や②の問題は起きないとわかりましたが、
  res(g(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)の式は積分を含んでいない為、res(g(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)の式においては質問に載せた①や②の問題は起きるのでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2024/05/11 16:34

• https://imepic.jp/20240422/502940
  においての画像のg(z)=(z-π/2)tan(z)に関して質問があるのですが、
  「g(z)=(z-π/2)tan(z)はz=π/2で正則ではない。」と書いてありますが、
  z=π/2の時にg(π/2)=(z-π/2)tan(z)=-1と収束する為、g(z)=(z-π/2)tan(z)はz=π/2で正則だと思うのですが、
  なぜ「g(z)=(z-π/2)tan(z)はz=π/2で正則ではない。」となるのしょうか？

  
    補足日時：2024/05/13 13:38

No.22 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/13 11:27

g(z)がz=aでk位の極をもつとき

g(z)のローラン展開は
g(z)=Σ_{n=-k～∞}a(n)(z-a)^n
だから

res(g(z),a)
={1/(2πi)}∫{|z-a|=r>0}g(z)dz
={1/(2πi)}∫{|z-a|=r>0}{Σ_{n=-k～∞}a(n)(z-a)^n}dz
={1/(2πi)}Σ_{n=-k～∞}a(n)∫{|z-a|=r>0}{(z-a)^n}dz
={1/(2πi)}[a(-1)∫{|z-a|=r>0}{1/(z-a)}dz+Σ_{n≠-1}a(n)∫{|z-a|=r>0}{(z-a)^n}dz]

n≠-1のとき
∫{|z-a|=r>0}{(z-a)^n}dz=0
だから
Σ_{n≠-1}a(n)∫{|z-a|=r>0}{(z-a)^n}dz=0
だから

res(g(z),a)={a(-1)/(2πi)}∫{|z-a|=r>0}{1/(z-a)}dz

z-a=re^(it)
dz=ire^(it)dt
t=0～2π

res(g(z),a)
={a(-1)/(2πi)}∫{|z-a|=r>0}{1/(z-a)}dz
={a(-1)/(2πi)}∫{|z-a|=r>0}{1/(z-a)}dz
={a(-1)/(2πi)}∫{0～2π}idt
=(2πi)a(-1)/(2πi)
=a(-1)

だから

∴
res(g(z),a)=a(-1)

res(g(z),a)はg(z)のローラン展開の(-1)次項の係数になるのです

この回答へのお礼

res(g(z),a)=a(-1)となるまでの過程の計算を教えて頂きありがとうございます。

お礼日時：2024/05/13 13:37

No.20 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/11 20:25

f(z)がz=aでj位の極をもつとき

としたから

z=aでj位の極をもつf(z)を(z-a)^(n+1)で割った

gn(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)

はz=aでk=n+j+1位の極をもつ

この回答へのお礼

ありがとうございます。

g0(z)=f(z)(z-a)^jのg0(z)の0はn=0を言っていたわけではないとわかりました。

出来れば残りの4つの質問に答えて頂けるとありがたいです。

1,res(g(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)の式はn=-1の時の①と②から導かれましたが、
res(g(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)の式はn=-1以外の時でも使えるのでしょうか？


2,なぜn=-1と決めてres(g(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)の式を作ったのでしょうか？


3,仮にres(g(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)の式がn=-1以外の時でもres(g(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)の式が使える場合は、なぜn=-1以外の時でも式は使えるのでしょうか？


5,2024.5.9 17:30に頂いた解答より積分を含んだa(n)の式においては質問に載せた①や②の問題は起きないとわかりましたが、
res(g(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)の式は積分を含んでいない為、res(g(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)の式においては質問に載せた①や②の問題は起きるのでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2024/05/11 21:03

No.19 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/11 16:58

f(z)がz=aでj位の極をもつとき

f(z)=Σ{n=-j～∞}a(n)(z-a)^n

g0(z)=f(z)(z-a)^j

a(n)={1/(n+j)!}lim[z->a](d/dz)^(n+j)f(z)(z-a)^j

a(n)=res(f(z)/(z-a)^(n+1),a)

gn(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)
とすると
a(n)=res(gn(z),a)

gn(z)はz=aでk=n+j+1位の極をもつから

res(gn(z),a)={1/(n+j)!}lim[z->a](d/dz)^(n+j)g0(z)

この回答へのお礼

ありがとうございます。

gn(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)はz=aでk=n+1位の極を持つのではないのでしょうか？

k=n+1位にどうやってjが加わってk=n+j+1位になったのかわかりません。

どうか教えて下さい。

また、その他の質問にも答えて頂けると大変ありがたいです。

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2024/05/11 17:25

No.18 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/11 11:03

res(g(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)

は
ローラン展開の公式
a(-1)=res(g(z),a)
からを導いたのではありません
g(z)がz=aでk位の極をもつという条件から
ローラン展開は
g(z)=Σ_{n=-k～∞}a(n)(z-a)^n
となって
(z-a)^k g(z)のテイラー展開のk-1次項の係数が
a(-1)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)
となり
a(-1)=res(g(z),a)
と
同じになるから
res(g(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)
となるのです
決して左辺から右辺を導いたのではありません

この回答へのお礼

ありがとうございます。
今回の解答と2024.5.8 13:19と2024.5.10 05:50と2024.5.10 10:22より

「g(z)のローラン展開の-1次項の係数

a(-1)=res(g(z),a)...③

と
(z-a)^kg(z)のテイラー展開の(k-1)次項の係数

a(-1)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)...④

が等しいから」(2024.5.10 05:50の解答から引用)

③の右辺と④の右辺を=として、
res(g(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)と導けるとわかりました。


そして、res(g(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)を導く過程で出てきた②の右辺でありテイラー展開の係数を求める為の式である1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)は2024.5.10 13:59に頂いたありものがたりさんの解答よりg(z)のローラン展開の公式から導かれたとわかりました。


質問が5つあります。

1,res(g(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)の式はn=-1の時の①と②から導かれましたが、
res(g(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)の式はn=-1以外の時でも使えるのでしょうか？


2,なぜn=-1と決めてres(g(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)の式を作ったのでしょうか？


3,仮にres(g(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)の式がn=-1以外の時でもres(g(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)の式が使える場合は、なぜn=-1以外の時でも式は使えるのでしょうか？

お礼日時：2024/05/11 16:33

No.17 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/10 19:49

res(g(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)

の
右辺は
g(z)がz=aでk位の極をもつとき
g(z)=Σ{n=-k～∞}a(n)(z-a)^n
g(z)のローラン展開の-1次項の係数
a(-1)=res(g(z),a)
なのだけれども
res(g(z),a)
はg(z)の積分計算なので
a(-1)の値を求めるのは困難なのです
そのかわりに

左辺の

(z-a)^kg(z)のテイラー展開の(k-1)次項の係数

a(-1)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)

を
使って
a(-1)
を求めるのです

(z-a)^kg(z)のテイラー展開の(k-1)次項の係数
を
求めた
結果の
a(-1)
は
g(z)のローラン展開の-1次項の係数(計算できないけれども)
a(-1)=res(g(z),a)
と
同じになるのです

だから
res(g(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)
の式を使って
f(z)=1/(z^2-1)やf(z)=tan(z)のローラン展開の式を求めていたわけではありません


f(z)=1/(z^2-1)のローラン展開の式は

(z-1)f(z)=1/(z+1)のテイラー展開のn+1次項の係数

a(n)={1/(n+1)!}lim{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}

の式を使って求めていたのです
res(f(z)/(z-1)^(n+1),1)=…
は使っていません

f(z)=tan(z)のローラン展開の式は

(z-π/2)f(z)=(z-π/2)tan(z)のテイラー展開のn+1次項の係数

a(n)={1/(n+1)!}lim{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)

の式を使って求めていたのです
res(f(z)/(z-1)^(n+1),π/2)=…
は使っていません

この回答へのお礼

ありがとうございます。
res(g(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)の使い方は今回の解答2024.5.9 17:30の解答の「質問者さんからお礼」に書いた文章よりわかりました。

ただ、res(g(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)の式の導き方においては、

ローラン展開の公式からテイラー展開の次項の係数を導く式であるres(g(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)を導いたのでしょうか？

お礼日時：2024/05/11 10:40

No.16 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/10 18:38

大丈夫？

どう見ても、(z-a)^k g(z) のテイラー展開から
g(z) のローラン展開の係数のひとつ Res[g(z),a] の値を導いてるでしょ。

この回答へのお礼

すいません。
少し混乱してしまって。

正しくはローラン展開の公式からテイラー展開の次項の係数を導く式であるres(g(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)を導いたのでしょうか？

お礼日時：2024/05/10 19:05

No.15 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/10 13:59

←補足日時 05/10 05:33

＞テイラー展開の公式からres(g(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)
＞を導くまでの過程の計算を教えて頂けないでしょうか。

それ、No.9 に書いたんだけど。
関数 g(z) が z=a に k 位の極を持つ場合の Res[g(z),a] は...

g(z) のローラン展開を g(z) = Σ[n=-k→+∞] c(n) (z-a)^n と置くと、
(z-a)^k g(z) が z=a で正則となることから
(z-a)^k g(z) = Σ[n=-k→+∞] c(n) (z-a)^n+k を k-1 階微分して、
(d/dz)^(k-1) (z-a)^k g(z) = Σ[n=-1→+∞] c(n) (nP(k-1))(z-a)^n+1.
この式で z→a の極限をとると、
lim[z→a] (d/dz)^(k-1) (z-a)^k g(z) = c(-1) ((k-1)P(k-1)) + Σ[n=0→+∞] 0.

(k-1)P(k-1) = (k-1)！ より、
Res[g(z),a] = c(-1) = (1/(k-1)!) lim[z→a] (d/dz)^(k-1) (z-a)^k g(z) .

この回答へのお礼

ありがとうございます。

すなわち、ローラン展開の公式からテイラー展開のres(g(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)を導いたわけでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2024/05/10 15:48

No.14 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/10 10:22

a(n)={1/(n+1)!}lim{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)dz

は
あくまでも
g0(z)=tan(z)(z-π/2)
の
テイラー展開の公式なのだけれども

gn(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
g0(z)=tan(z)(z-π/2)

res(gn(z),π/2)={1/(n+1)!}lim{z→π/2}(d/dz)^(n+1)g0(z)dz
res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)={1/(n+1)!}lim{z→π/2}(d/dz)^(n+1)tan(z)(z-π/2)
の式は

f(z)=tan(z)のローラン展開の式

a(n)=res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)

と

g0(z)=tan(z)(z-π/2)のテイラー展開の式

a(n)={1/(n+1)!}lim{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)

から導いたのだから

res(g(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)の式は

g(z)のローラン展開の式

a(-1)=res(g(z),a)

と

(z-a)^k　g(z)のテイラー展開の式

a(-1)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)

から

res(g(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)
を
導いたのです

この回答へのお礼

えーと、すなわち、
res(g(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)はローラン展開の式であり、テイラー展開の式でもあるわけでしょうか？

そして、そのres(g(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)の式を使って2024.5.9 17:30の解答の「質問者さんからお礼」に書いた様にしてf(z)=1/(z^2-1)やf(z)=tan(z)のローラン展開の式を求めていたわけでしょうか？

お礼日時：2024/05/10 18:14

No.13 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/10 05:50

g(z)がz=aでk位の極をもつとき

g(z)=Σ{n=-k～∞}a(n)(z-a)^n

g(z)のローラン展開の-1次項の係数

a(-1)=res(g(z),a)

と
(z-a)^kg(z)のテイラー展開の(k-1)次項の係数

a(-1)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)

が等しいから

res(g(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)

となる

この回答へのお礼

ありがとうございます。

あの2024.5.8 11:04に頂いた解答の
「a(n)={1/(n+1)!}lim{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)dz
は
あくまでも
g(z)=tan(z)(z-π/2)
の
テイラー展開の公式なのです
」
よりres(g(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)の式はテイラー展開の公式から導かれたのではないのでしょうか？

それとも、「」の文章はres(g(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)の式からテイラー展開したg(z)=tan(z)(z-π/2)の次項の係数が求められる為、「」の文章の様に書いたのでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2024/05/10 07:32

No.12 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/09 17:30

(z-1)や(z-π/2)を掛けて

g(z)=(z-1)f(z)=1/(z+1)やg(z)=(z-π/2)tan(z)とするのは
g(z)をテイラー展開するためであって
テイラー展開するときは
ローラン展開のための積分公式は使わないのです
g(z)を積分しないので①の問題は起きないのです
また
積分が困難なため積分しないだけであって
積分は決して発散しません
だから
②の
発散するg(z)を含むa(n)の式は発散するというのは間違いです
発散するg(z)の積分は発散しません

1/(z+1)のテイラー展開のn+1次項の係数は

a(n)={1/(n+1)!}lim{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}

(z-π/2)tan(z)のテイラー展開のn+1次項の係数は

a(n)={1/(n+1)!}lim{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)

となるのだけれども
係数を
(z-1)や(z-π/2)で割るのではなく

1/(z+1)のテイラー展開のn+1次項

a(n)(z-1)^(n+1)
を
(z-1)で割って

a(n)(z-1)^n
とすると
1/(z+1)のテイラー展開のn+1次項の係数a(n)がそのまま
1/(z^2-1)のローラン展開のn次項の係数となるのです


(z-π/2)tan(z)のテイラー展開のn+1次項

a(n)(z-π/2)^(n+1)
を
(z-π/2)で割って

a(n)(z-π/2)^n
とすると
(z-π/2)tan(z)のテイラー展開のn+1次項の係数a(n)がそのまま
tan(z)のローラン展開のn次項の係数となるのです

f(z)=1/(z^2-1)のz=1の周りでのローラン展開の場合は(z-1)をかければz=1で正則になるから(z-1)をかける
f(z)=1/(z^2-1)のz=-1の周りでのローラン展開の場合は(z+1)をかけるのです

この回答へのお礼

ありがとうございます。

ローラン展開のための積分公式は積分の計算が困難であるためしないのはわかりました。

その為、積分の入っていないa(n)の式を使ってローラン展開の次項の係数を求めるとわかりました。
しかし、積分の入っていないa(n)の式でローラン展開の次項の係数を求める場合は①や②の問題が起きる為、
また、f(z)=1/(z^2-1)やf(z)=tan(z)はテイラー展開出来ないので、テイラー展開出来るように、

g(z)=(z-1)f(z)=1/(z+1)(f(z)=1/(z^2-1)がnやrの場合分けによりz=1で正則となる時の式)やg(z)=(z+1)f(z)=1/(z-1)(f(z)=1/(z^2-1)がnやrの場合分けによりz=-1で正則となる時の式)やg(z)=(z-π/2)f(z)=(z-π/2)tan(z)

のようにnやrの場合分けによってf(z)=1/(z^2-1)に(z-1)や(z+1)やf(z)=tan(z)に(z-π/2)を掛けて、g(z)の式を作り、

そのg(z)をa(n)に使ってg(z)=(z-1)f(z)=1/(z+1)(f(z)=1/(z^2-1)がnやrの場合分けによりz=1で正則となる時の式)やg(z)=(z+1)f(z)=1/(z-1)(f(z)=1/(z^2-1)がnやrの場合分けによりz=-1で正則となる時の式)やg(z)=(z-π/2)f(z)=(z-π/2)tan(z)のテイラー展開の次項の係数を求めてから、

求めたテイラー展開の次項の係数を(z-1)や(z+1)や(z-π/2)で割ってf(z)=1/(z^2-1)やf(z)=tan(z)のローラン展開の次項の係数を求めて、

f(z)=1/(z^2-1)やf(z)=tan(z)のローラン展開を導くのだとわかりました。

お礼日時：2024/05/09 19:38