今更で申し訳ないのですが、疑問が2つあります。 ①g(z)=tan(z)(z-π/2)でz→π/2(

今更で申し訳ないのですが、疑問が2つあります。

①g(z)=tan(z)(z-π/2)でz→π/2(z=π/2)の時は、g(z)の式は収束する為、コーシーの積分定理によってa(n)は0になると思ったのですが、なぜ画像のようにa(n)の式が作れるのでしょうか？


②g(z)の式が発散する時は、コーシーの積分定理によりa(n)は0とはならず、a(n)の式は作れます。
しかし、a(n)の式は発散するg(z)を含む為、a(n)の式は発散してしまいます。
なぜ発散するa(n)の式からa(n)の値が導けるのでしょうか？

どうか分かりやすく教えて頂けないでしょうか。
どうかよろしくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• ありがとうございます。
  
  あの、f(z)=1/(z^2-1)に関しては、n≧-1の時にz=1でn+2位の極を持つ為、コーシーの積分定理によりa(n)は0にならず、
  
  すなわち、z=1の時に発散するg(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}の式を含むa(n)の式は発散して=∞になると思ったのですが、赤い下線部のように導けました。...③
  
  そして、このa(n)の式にn≧-1より、例えばn=-1を赤い下線部の式に代入しても発散せずにn=-1の時の値が導けます。...④
  
  上記の③と④において、なぜ発散しないのでしょうか？

  
    補足日時：2024/05/08 11:55

• 度々申し訳ありません。
  
  Res(f(z),c)=lim_{z->c}(z-c)f(z)の公式はf(z)がk=1の極を持つ時に使える式だったと思うのですが、
  f(z)=tan(z)はz→π/2(z=π/2)の時にk=1の極を持つ為、Res(f(z),c)=lim_{z->c}(z-c)f(z)の公式が使えて、
  
  Res(f(z),π/2)=lim_{z->π/2}(z-π/2)tan(z)と導けますが、これは正しいのでしょうか？
  
  仮に正しくない場合は何が正しくないのかをどうか教えて頂けないでしょう。
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2024/05/08 12:45

• >>a(n)={1/(n+1)!}lim{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)dz
  は
  あくまでも
  g(z)=tan(z)(z-π/2)
  の
  テイラー展開の公式なのです
  
  なぜa(n)={1/(n+1)!}lim{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)dzはテイラー展開の公式なのでしょうか？
  
  どうか理由を教えて頂けないでしょうか。
  
  
  また、Res(f(z),c)=lim_{z->c}(z-c)f(z)に関する補足の質問にも答えて頂けるとありがたいです。
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2024/05/08 14:20

• mtrajcp様やありものがたり様の解答を読むに、
  今までf(z)=1/(z^2-1)やf(z)=tan(z)のローラン展開を導く際に、a(n)の式を使って導くと質問の①や②のような問題が起きる為、a(n)の式からf(z)=1/(z^2-1)やf(z)=tan(z)のローラン展開の式を導いていた訳ではなく、
  
  ①や②のような問題が起きないようにする為に、
  正則の時にf(z)=1/(z^2-1)やf(z)=tan(z)のテイラー展開の公式によって導いた近似式がf(z)=1/(z^2-1)やf(z)=tan(z)のローラン展開のnが0や正の範囲での近似式と同じ式である為、

    補足日時：2024/05/09 04:38

• f(z)=1/(z^2-1)やf(z)=tan(z)のテイラー展開の公式によって近似式を導いてから、次項をずらしてnが0や正の範囲だけではなく負の範囲でも展開した近似式を作り、
  その近似式はnが0や正の範囲だけではなく負の範囲でも展開する為、
  結果的にf(z)=1/(z^2-1)やf(z)=tan(z)のローラン展開の近似式を導いたと言う事でしょうか？

    補足日時：2024/05/09 04:38

• https://imepic.jp/20240422/502940
  においての画像のg(z)=(z-π/2)tan(z)に関して質問があるのですが、
  「g(z)=(z-π/2)tan(z)はz=π/2で正則ではない。」と書いてありますが、
  z=π/2の時にg(π/2)=(z-π/2)tan(z)=-1と収束する為、g(z)=(z-π/2)tan(z)はz=π/2で正則だと思うのですが、
  なぜ「g(z)=(z-π/2)tan(z)はz=π/2で正則ではない。」となるのしょうか？

  
    補足日時：2024/05/09 17:05

• 積分の入ったa(n)以外のmtrajcp様に教えて頂いた今まで使っていたa(n)の式はテイラー展開の次項の係数を求める為の式だったという事で正しいでしょうか？
  だとしたらテイラー展開の公式からres(g(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)を導くまでの過程の計算を教えて頂けないでしょうか。

    補足日時：2024/05/10 05:33

• 4,2024.5.10 10:22に頂いた解答の
  「gn(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
  g0(z)=tan(z)(z-π/2)」
  に関して質問があるのですが、
  
  gn(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)ならば、n=0の時はg0(z)=tan(z)(z-π/2)ではなく、g0(z)=tan(z)/(z-π/2)となるのではないでしょうか？
  なぜg0(z)=tan(z)(z-π/2)となるのかわかりません。

    補足日時：2024/05/11 16:33

• 5,2024.5.9 17:30に頂いた解答より積分を含んだa(n)の式においては質問に載せた①や②の問題は起きないとわかりましたが、
  res(g(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)の式は積分を含んでいない為、res(g(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)の式においては質問に載せた①や②の問題は起きるのでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2024/05/11 16:34

• https://imepic.jp/20240422/502940
  においての画像のg(z)=(z-π/2)tan(z)に関して質問があるのですが、
  「g(z)=(z-π/2)tan(z)はz=π/2で正則ではない。」と書いてありますが、
  z=π/2の時にg(π/2)=(z-π/2)tan(z)=-1と収束する為、g(z)=(z-π/2)tan(z)はz=π/2で正則だと思うのですが、
  なぜ「g(z)=(z-π/2)tan(z)はz=π/2で正則ではない。」となるのしょうか？

  
    補足日時：2024/05/13 13:38

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2024/05/08 09:42

この質問がでるということからあなたがまだローラン展開を勉強する準備すらできていないことがよくわかります。

まず、
∫_C z^n dz C:0を中心とした半径rの円周を反時計回りに1周
を実際に計算をしてください。
この計算をやっていない人に留数定理やローラン展開を理解することは不可能です。

人がする計算を見ても理解できません。自分で計算しないと身につきません。やり方がわからないのでしたらそこから勉強をしてください。