x+y+z＝0，2x^2+2y^2-z^2＝0のとき，x＝yであることを証明せよ。

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　★x+y+z＝0，2x^2+2y^2-z^2＝0のとき，x＝yであることを証明せよ。

この問題について説明をお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： hsatky530 回答日時： 2009/05/28 00:39

おおざっぱな説明になりますが、左の式を

z=-x-y
として、それを右の式のzに代入します。
それを展開してまとめると
x^2-2xy+y^2=0
という式になります。
あとはこれを因数分解すれば
(x-y)^2=0
となるので、x=yという答えがでます。
与えられた条件がほかになければこれでいいはずです。

No.5 回答者： htms42 回答日時： 2009/05/28 14:57

（ｘ、ｙ）座標で考えてみます。

ｘ＋ｙ＋ｚ＝０　は(０、－ｚ)、(－ｚ、０)を通る勾配－１の直線です。（－ｚ／２，－ｚ／２）を通ります。

ｘ＾２＋ｙ＾２＝(ｚ＾２)／２　は原点を中心とする半径(１／√２)ｚの円です。
この円は（－ｚ／２，－ｚ／２）を通ります。

この２つのグラフはｙ＝ｘについて対称です。
接している場合はｘ＝ｙです。
交わっている場合はα≠βとして(α、β)、(β、α)の２つの解を持ちます。
ｘ＝ｙ＝－ｚ／２の解が得られましたから接しています。
解は１つです。

No.4 回答者： f272 回答日時： 2009/05/28 12:04

じゃあ、ちょっと違うやり方で

もし
x+y+z＝0，2x^2+2y^2-z^2＝0のとき，x<yである
ことが示せるなら、同じやり方で
y+x+z＝0，2y^2+2x^2-z^2＝0のとき，y<xである
ことが示せるはずである。これらは矛盾しているから結局
x+y+z＝0，2x^2+2y^2-z^2＝0のとき，x<yではない
ことが分かり、同様に
x+y+z＝0，2x^2+2y^2-z^2＝0のとき，y<xではない
ことも分かる。従って
x+y+z＝0，2x^2+2y^2-z^2＝0のとき，x=yである

No.3 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/05/28 07:12

証明するものがx＝yで、zに無関係から、いずれにしても、zを消す作業をする事には違いはない。

x+y＝-zから、両辺を2乗すると、x＾2＋2xy＋y＾2＝z＾2.
又、条件から、z^2＝2x^2+2y^2であるから、2x^2+2y^2＝x＾2＋2xy＋y＾2。
この式を左辺に集めて整理すると、（x-y）＾2＝0となるから、x＝y。

No.1 回答者： owata-www 回答日時： 2009/05/28 00:30

x+y+z＝0→z＝-(x+y)、z^2＝(x+y)^2

これを
2x^2+2y^2-z^2＝0に代入
x^2+y^2-2xy＝(x-y)^2＝…