0<x<2π/3で 2xsin(x)+xsin(2x)-8cos(x)+3cos(2x)-2x²+5

0<x<2π/3で
2xsin(x)+xsin(2x)-8cos(x)+3cos(2x)-2x²+5>0
が成り立つことの証明を教えて下さい。

自分でも色々と手を動かしてはいるのですが、
微分するごとに不安が増していきます。

よろしくお願いします。

No.10 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/06/23 19:49

0<x<2π/3

f(x)=2xsinx+xsin(2x)-8cosx+3cos(2x)-2x^2+5
とすると
f(0)=0

f'(x)
=2sinx+2xcosx+sin(2x)+2xcos(2x)+8sinx-6sin(2x)-4x
=10sinx-5sin(2x)+2xcosx+2xcos(2x)-4x
=10sinx-10sinxcosx+2xcosx+2x{2(cosx)^2-1}-4x
=10sinx(1-cosx)+2xcosx+4x(cosx)^2-6x
=10sinx(1-cosx)+2x{2(cosx)^2+cosx-3}
=10sinx(1-cosx)+2x(cosx-1)(2cosx+3)
=2(1-cosx)(5sinx-2xcosx-3x)

1-cosx>0
だから
5sinx-2xcosx-3x>0
が示せれば

f'(x)>0
だから
f(x)は増加
だから
f(x)>f(0)=0
だから
f(x)>0

この回答へのお礼

ありがとうございます。
なんとも見事に5sinx/(2cosx+3)>xが出て来ますね。
下のボンクラ回答者どもにはとても出来ない式変形だと思います。
教えていただき本当に感謝しています。

5sinx/(2cosx+3)>x
はなんとなく綺麗な形をしていますが、微分する以外に示す方法はありますか？

お礼日時：2022/06/24 20:30

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/06/23 00:14

この質問者は、自分でどう手を動かしたのかを

一切書こうとしないなあ...

この回答へのお礼

もういい加減嫌がらせはやめてもらえます？
Tacosanよりたちが悪いですよ。

お礼日時：2022/06/23 00:35

No.6 回答者： finalbento 回答日時： 2022/06/22 23:46

お礼コメントに対してですが、sin(2x)とあるのは本当の書き方はsin2xと言う具合に括弧を付けないのが常識です。

実際数学の本でもそこに括弧を付けてるものなんて見た事がありませんし、そもそも数学の慣例から言えば「(sin2)x」と間違える恐れなんかありません。こんなアドバイスにいちいち噛み付いているようだと本当に誰も教えてくれなくなりますよ。私も教えてあげる気持ちが失せました。勝手にして下さい。

この回答へのお礼

あなたの実力でこの問題が教えられるとははなから思っていませんでしたので、別にどのようにお気持ちが変わられようとも結構です。
それに、あなたに数学の常識が語れるとも到底思えない。数学の本は何冊くらいお読みになられたのでしょう？話半分に聞いておきます。

以前、
1+x+x^2/2!+x^3/3!+…+x^n/n!
という多項式について質問したとき、ある回答の間違いを指摘したら急にその回答者が「x^3/3!は数学の常識ではx^(3/3!)と読む」と難癖を付け始めて閉口したことがありました。
目も悪い頭も悪い根性も悪い回答者が勢揃いしているような場所では、自衛するに越したことはないのです。

お礼日時：2022/06/23 00:32

No.4 回答者： finalbento 回答日時： 2022/06/22 22:05

質問の本題ではありませんが、ウェブ上で三角関数を書き表わす時に

sin(2x)

のように三角関数の「中身」の数を括弧でくくる必要はありません。単純に

sin2x

などとして大丈夫です。括弧がないと混乱するような事はないわけですから。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/06/22 21:02

f(x) = 2x sin(x) + xs in(2x) - 8cos(x) + 3cos(2x) - 2x² + 5

と置いて、 f(x) の増減表でも書いてみたらよくない？
それはやってみた？