数学 y=cos ^2(1-2x)を微分するとどうなりますか？

数学
y=cos ^2(1-2x)を微分するとどうなりますか？

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2023/04/28 09:47

u = 1 - 2x　　　①

とおけば

　y = cos^2(u)　　　②

なので

　dy/dx = (dy/du)(du/dx)　　　③

で求まります。

ここで、さらに

　t = cos(u)　　　④

とおけば

　y = t^2　　　　⑤

なので

　dy/du = (dy/dt)(dt/du)　　　　⑥

であり、各々は

　dy/dt = 2t = 2cos(u)　　　←⑤より
　dt/du = -sin(u)　　　　　←④より

なので、⑥に代入して

　dy/du = -2sin(u)cos(u)　　　　⑦

一方、③のうち

　du/dx = -2

なので、③は

　dy/dx = [-2sin(u)cos(u)](-2)
　　　　= 4sin(u)cos(u)
　　　　= 4sin(1 - 2x)cos(1 - 2x)
　　　　= 2sin(2 - 4x)　　　　　　←倍角の公式

ちょっと慣れれば、こんな複雑な「置換」をせずに順次微分してかけ合わせるやり方で暗算できるようになると思います。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/28 13:58

y = cos^2 (1-2x) = cos^2 (2x-1) = { cos( 2(2x-1) ) + 1 }/2

　= (1/2)cos(4x - 2) + 1/2.
ｄｙ/dx = (1/2){ (-sin(4x - 2))・4 } + 0
　　　= -2 sin(4x - 2).

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/04/28 10:11

合成関数の微分は

h(x)=f(g(x))
を
h(x)=f(u)
u=g(x)

とみて
dh(x)/dt=df(u)/dt・du/dt
とします。

f(u)=u²
u=g(x)=cos(1-2x)
とすれば
dy/dx=2u・dg(x)/dx=2cos(1-2x)・dg(x)/dx

dg(x)/dx も同様に合成関数の微分で
dg(x)/dx=-sin(1-2x)・d(1-2x)/dx=2sin(1-2x)

合わせて
dy/dx=4cos(1-2x)sin(1-2x)