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3次関数f(x)=ax^3+bx^2+cx+dがx=1で極小値-1/12をとり、x=2で極大値1/12をとる。
定数a,b,c,dを求めよ

という問題です。

f'(x)=3ax^2+2bx+c として、
f'(1)=0
f'(2)=0
f(1)=-1/12
f(2)=1/12   
この4つの式からabcdを使った式を出したのですが、
どのように変形すれば答えが出るのでしょうか?
教えていただければ幸いです。

A 回答 (4件)

それぞれの式に代入して,a,b,c,dに関する4元連立一


次方程式を解いてもいいわけですが,めんどくさいです
よね。だから,文字数をできるだけ減らしましょう。具
体的には以下の通りです。
f'(1)=f'(2)=0
なので
f'(x)=3a(x-1)(x-2)=3ax^2-9ax+6a
となるから,係数比較して
2b=-9a⇔b=-9a/2, c=6a
よって
f(x)=ax^3+(-9a/2)x^2+6ax+d
となり,bとcが消去できたのでずっとラクです。
ここから
f(1)=-1/12
f(2)=1/12 
を代入すればいいです。ちなみに答えは
a=-1/3,b=3/2,c=-2,d=3/4
です。
  x=pで極値⇒f'(p)=0(逆は成り立たない)
をうまく使って下さい。  
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他の方と同じようなことですが・・・。



出てきた4つの式は4元連立方程式というもので、これを解くには、文字(未知数)を1つずつ減らしていけばよい訳です。
例えば、まずdを含まない式を3つ作ります。そのためには、初めの4つの式のうち、2つの式はdを含んでいませんから、dを含む他の2つの式からdをなくした式を1つ導きます。(2つの式の両辺の差を取ればよいでしょう。)すると、dを含まない式が合わせて3つできます。これが、3元連立方程式と呼ばれるものです。
後は同じようにして、この3元連立方程式から、例えばcを消去したa,bだけを含む2つの式から成る2元連立方程式を作ります。(これはもう解けると思いますが・・・。)
そして、最後には例えばbを消去したaだけを含む1つの式から成る1元(連立)方程式を作ります。これは解けますから、aが求まり、aが求まればbが求まり、a,bが求まればcも求まり、a,b,cが求まればdも求まります。

なお、この問題の解法で、a,b,c,dの4元連立方程式を解くのは嫌だというのであれば、
  f´(x)=A(x-1)(x-2)
     =Ax^2-3Ax+2A
とおいてみると、
  f(x)=(A/3)x^3-(3A/2)x^2+2Ax+d ・・・ (1)
と表せるので、
  f(1)=-1/12
  f(2)= 1/12
より、Aとdの2元連立方程式を作り、それを解けばAとdが求まり、(1)に代入して、f(x)を求めることもできます。
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未知数は、a,b,c,dの4つで式も4つですので、単なる4元連立方程式です。

なので、文字を一つずつ消去すれば、解くことができます。

まぁ、それは非常に面倒なので、別の方法をいくつか紹介します。(といっても、ここに書いたこと以上のことは考えてないので、面倒なのも含まれているかもしれません)

f'(x)=3a(x-1)(x-2)
より、b,cをaを用いて表す。
f(1)=-1/12,f(2)=1/12からa,dを求める。

y=f(x)は、変極点(3/2,0)に関して点対称であることから、
f(x)=a(x-3/2)^3+e(x-3/2)
と表せる。f'(1)=0,f(1)=-1/12からa,eを決定。(f'(2)=0,f(2)=1/12からでもいい)


極大と極小を結ぶ直線(y=x/6-1/4)が変極点(極大と極小の中点)を通るので、
f(x)-x/6+1/4=a(x-1)(x-2)(x-3/2)
さらに、f'(1)=0の条件から、aを決定。(f'(2)=0からでもいい)
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4元1次の連立方程式になると思うので


普通に文字を1つづつ消去していけばいいですよ
未知数が4、式が4なので答えが出るはずです
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