漸化式の問題です。3行目から5行目になる時になぜ単に2を移行するのではなく3で括っているのですか？

漸化式の問題です。3行目から5行目になる時になぜ単に2を移行するのではなく3で括っているのですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/06/06 11:59

b[n]+1=Cnとおくと　b[n+1]+1=C[n+1]で

C[n]を●倍にするとC[n+1]になるという式を得たいからです
つまりC[n]は公比●の等比数列であることを示せる形にしたいから！

感で変形しても良いが、
標準的な変形の仕方の一例としては　3行目のb[n+1]とb[n]をともにαに置き換えて
α=3α+2（これを特性方程式という）…①
α=-1
元の式から①を引くと
b[n+1]-α=3b[n]+2-(3α+2)
⇔b[n+1]-(-1)=3b[n]-3(-1)
⇔b[n+1]+1=3{b[n]+1}
このようにして5行目が得られます

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/06 18:27

９行目を見れば判るように、その解答は

b[n]+1 という数列が等比数列であることを利用して
a[n] を求めようとしている。
b[n]+(定数) が等比数列であることを示し、かつ
その公比を知るためには、3行目を
b[n+1]+c = r{ b[n]+c } と変形できればよい。　←[1]
この式を3行目と引き算すると、
0 = (r - 3)b[n]+ (r - 1)c - 2 となる。
b[n] が定数列でなければ、この式が成り立つために
r - 3 = (r - 1)c - 2 = 0. よって r = 3, c = 1.
これで[1]が5行目の式になった。