黄色マーカーの意味がよく分かりません。 X軸方向に4倍、Y軸方向に8倍に引き伸ばした らへんは何とな

黄色マーカーの意味がよく分かりません。
X軸方向に4倍、Y軸方向に8倍に引き伸ばした らへんは何となく分かるのですが、
X=0を入れるとYが8？だから最大値8？というのも何となくですが、

X=0となるのはx=√3a y=a の時であり
という所がなぜこうなったのかかが分からないです。

そもそも2つの二次形式の最大値、最小値という問題のイメージが掴めません。

どなたかご教授ください。

数学 行列 二次形式 固有値

質問者からの補足コメント

• すみません、返信先を間違ってしまいました。
  mtrajcpさんはありものがたりさんの返信先を見てください。。
  すみません

    補足日時：2023/04/11 15:06

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/11 16:03

(x;y)=P(X;Y)

=
(1/2.,√3/2)(X)
(-√3/2,1/2)(Y)
=
((X+Y√3)/2;(Y-X√3)/2)

この回答へのお礼

わざわざありがとうございます。
大変分かりやすかったです。
助かりました。

お礼日時：2023/04/11 16:32

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/11 13:40

黄色マーカーの直前の「ベクトルの大きさに変化はなく、

XY座標系での変換Dにより大きさの変化が起こる」に注目。
これは、(X Y) = (x y) P で変換すると、　←[1]
G(x,y) = G(X,Y) で
F(x,y) = 4X^2 + 8Y^2 だという話をしている。
文章がヘタクソで、解りにくいけれども。

だから
F(x,y)/G(x,y) = 4・X^2/(X^2+Y^2) + 8・Y^2/(X^2 +Y^2)　←[2]
と書けるが、右辺の値は X^2:Y^2 の比だけで決まり、
それは X:Y の比、また [1] 式より x:y の比だけで決まることになる。

[2] 式を見れば、
F(x,y)/G(x,y) の最大が X=0 のとき
F(x,y)/G(x,y) の最小が Y=0 のときであることは明らか。
なぜって、
X^2/(X^2+Y^2) > 0,
Y^2/(X^2 +Y^2) > 0,
X^2/(X^2+Y^2) + Y^2/(X^2 +Y^2) = 1 だからね。

その X,Y を [1] 式で x:y の値に翻訳すれば、
写真の最下行のようになる。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

Y=0 のとき最小値4になる

(X,Y)=(x,y)P

(x;y)=P(X;Y)
=((X+Y√3)/2;(Y-X√3)/2)
(X,Y)=(x,y)Pから次の行への変形が分かりません。

(X,Y)は列ベクトルでしょうか？
→ →
X =x P
X(X,Y) で x(x,y) というイメージでいいのでしょうか？

お礼日時：2023/04/11 15:04

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/11 11:16

(tP)AP=D

↓tP=P^(-1)だから
A=PD(tP)

(X,Y)=(x,y)P
とすると

F(x,y)
=(x,y)A(x;y)
=(x,y)PD(tP)(x;y)
=(X,Y)D(X;Y)
=4X^2+8Y^2

G(x,y)
=(x,y)PP^(-1)(x;y)
=(X,Y)(X;Y)
=X^2+Y^2

F(x,y)/G(x,y)
=(4X^2+8Y^2)/(X^2+Y^2)
=8-4X^2/(X^2+Y^2)
≦8

だから

X=0 のとき最大値8になる

F(x,y)/G(x,y)
=(4X^2+8Y^2)/(X^2+Y^2)
=4+4Y^2/(X^2+Y^2)
≧4

だから

Y=0 のとき最小値4になる

(X,Y)=(x,y)P

(x;y)=P(X;Y)
=((X+Y√3)/2;(Y-X√3)/2)

x=(X+Y√3)/2
y=(Y-X√3)/2
だから
X=0となるのは

x=Y√3/2
y=Y/2

a=Y/2とすると

x=a√3
y=a

この回答へのお礼

質問の補足に書きましたが返信先を間違ってしまいました。 ありものがたりさんの返信を見てもらうと幸いです。。
ややこしい事になってしまい申し訳ございません

お礼日時：2023/04/11 15:06