行列A^2からAを求める方法について

画像の行列と条件から,

P^-1A^2P = (P^-1AP)^2

を使って,固有値 λ = 1,2,3(detA = 6, tr(A) = 6 ) は求められたのですが,
そこから正則行列Pの求め方がわかりません。
どのように求めるのでしょうか？

また、他の解き方はあるでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 画像

  
    補足日時：2019/08/17 15:34

• 画像の行列に間違えがありました
  
  正しくはA^2でした

  
    補足日時：2019/08/17 19:57

• すみません、行列に間違いがありました

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/08/17 19:57

No.2 ベストアンサー 回答者： cage64 回答日時： 2019/08/18 09:13

tr(A^2)=6 ではないし、det(A^2)=6 でもありません。

A^2の固有値に負の値のものがあるから、そのようなAは存在しないでしょう。
A^2は異なる3つの固有値をもちます。xがAの固有値λに対する固有ベクトルなら、A^2x=A(Ax)=A(λx)=λAx=λ^2x だから、λ^2 はA^2の固有値でなければなりませんが、正の実数の2乗は正なので、ありえません（厳密にはAも異なる3つの固有値をもつ、といわなければなりませんが）。

A^2の固有値がすべて異なり、しかも0以上の実数なら、P^(-1)A^2P=D, Dは対角成分に固有値が並ぶ対角行列にできますから、対角成分の平方根を取ったもの（もし、固有値が1,2,3なら、1,√2,√3を対角線に並べたもの）を√Dとして(P^(-1)*√D*P)^2=P^(-1)DP=A^2 だから、これが求めるもの(の１つ）です。

No.4 回答者： hiccup 回答日時： 2019/08/18 20:39

すまん。

たわごとやったわ。

No.3 回答者： hiccup 回答日時： 2019/08/18 20:32

A^2 の固有方程式から A の逆行列を求めればよくね？

No.1 回答者： think2nd 回答日時： 2019/08/17 16:09

それぞれの固有ベクトルを作ってください。