固有ベクトルの逆行列が存在しない？

行列A=
(０，１，１）
(１，０，１）
(１，１，０）
の固有値と固有ベクトルを求める(ただし各固有ベクトルの最大の成分は1となるようにする)
問題なのですが，
固有値λ＝－1(重解)，2　と求め
固有ベクトルをそれぞれ
x=(x1，x2，x3)=(１，－1/2，－1/2)，(１，１，１）　と求めたのですが，
対角化行列P=
(１，１，１)
(１，-1/2，-1/2)
(１，-1/2，-1/2)
の行列式が0になってしまいPの逆行列が存在しないことになってしまいます。
これはどこかで計算ミスをしているのでしょうか？
それとも固有ベクトルに逆行列が存在しないことはあるのでしょうか？
自分ではこれ以上見直しても分からないので
教えてくださると助かります。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/05/02 23:01

計算ミスというかなんというか.... 固有ベクトルを計算し直してください.

余談:
「固有ベクトル」はベクトルだから逆行列など存在しない.

この回答へのお礼

固有ベクトルに逆行列～
は私のほうの記載ミスですね。
回答ありがとうございました。

お礼日時：2012/05/03 17:10

No.2 回答者： 151A48 回答日時： 2012/05/03 00:11

重解λ=-1の固有ベクトルはx1=-x2-x3より

x2(-1 1 0)+x3(-1 0 1)
（頭の中で列ベクトルにしてください。）

P= 1 -1 -1
1 1 0
1 0 1

（行列のつもり。数字がずれますがそろえて下さい）

とします。行列の問題は答えにくくてきらいです。

この回答へのお礼

参考になりました。ありがとうございます。

お礼日時：2012/05/03 17:12

No.3 ベストアンサー 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2012/05/03 15:22

　ある固有値に属する固有ベクトルは、長さの不定性を除けば１本しかない、と思っていませんか？。

大概はそれで良いんですが、正確には、

　　・ベクトル空間の次元をｎ（今はｎ＝3）として、ｎ個の異なる固有値がみつかれば、各固有ベクトルは1本づつしかないのは確実（長さの不定性は無視）．

しか言えません。異なる固有値に属する固有ベクトルは、互いに独立なので、それをｎ本並べて作った対角化行列には、必ず逆行列があります。

　では、固有値λ＝－1(重解)，2　のような場合、固有ベクトルはどうなるの？が、固有値論の目的の一つです。答えを言うと、

　　(1)固有ベクトルがｎ本に達しなくて、対角化行列を作れない（対角化不能のケース）．

　　(2)固有ベクトルがｎ本以上あり、対角化行列を作れるが、それは一通りに決まらない（重根を持った対称行列など）．

となります。今回のケースは(2)です。


　最も単純に、固有値λ＝1(重解)，2　を持った対称行列、

　　Ｂ＝
　　(１，０，０）
　　(０，１，０）
　　(０，０，２）

を考えてみます。λ＝2の固有ベクトルはすぐに、(０，０，１）と一通りに決まります。次に固有値λ＝1(重解)の固有ベクトルですが、Ｂの２行２列までのブロックは、xy平面に対して、単位行列として作用します。よってxy平面上の任意のベクトルは、Ｂの固有値１に属する固有ベクトルになります。要するにＢでは、xy平面全体が、固有値１に属する固有空間になっています。こういうのを、高さ２（次元が２）の固有空間と言います。ふつうの固有ベクトルは、高さ１の固有空間です。

　Ｂに対して、対角化行列、

　　Ｐ＝
　　(１，０，０）
　　(０，１，０）
　　(０，０，１）

は明らかですが（もともと対角行列だから）、

　　Ｑ＝
　　(１，１，０）
　　(０，１，０）
　　(０，０，１）

も、対角化行列に選べます。Ｑ^(-1)・Ｂ・Ｑ＝Ｂは、すぐ検算できると思います。

　このように固有値に重根がある場合は、人間の方で、互いに独立になる固有ベクトルを選ぶ必要があります（可能であれば）。で、大抵は便利に選びたいので、Ｐを選択する訳です。

　極端な例を揚げときます。単位行列Ｅです。x＝Ｅxなので、任意のベクトルが固有値1に属する固有ベクトルで、固有空間は全空間です。

　という訳で、#1さんの応答になります。

＞計算ミスというかなんというか.... 固有ベクトルを計算し直してください.

この回答へのお礼

なるほど・・・詳しい解説ありがとうございます。
皆さんの回答のおかげで理解することができました。
もう少し柔軟に考えてこのような問題に
対応していきたいです。

お礼日時：2012/05/03 17:14