統計数学の問題でノルム1に基準化された固有ベクトルというものが出てくるのですが、あまりイメージできま

統計数学の問題でノルム1に基準化された固有ベクトルというものが出てくるのですが、あまりイメージできません。どういう計算でしょうか？

(1001)とゆう固有ベクトルがノルム1で基準化すると(1/√2 0 0 -1/√2)になります。

よろしくお願いします！

質問者からの補足コメント

• こんな感じの問題です

  
    補足日時：2023/03/19 08:41

• 訂正です。固有ベクトルは(1 0 0 -1)でした

    補足日時：2023/03/19 08:47

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/19 11:03

実 n 次線型空間 R^n の一次変換 B が固有値 λ を持つとします。

すなわち、 det(B - λ In) = 0 です。
このとき、 Ker(B - λ In) は R^n の部分線型空間になります。
この部分空間を B の固有値 λ に属する固有空間、
その元を B の固有値 λ に属する固有ベクトルと呼びます。

固有空間には n - rank(B - λ In) 個のベクトルからなる基底がとれますが、
その際、単位直交基底をとっておくと、後々計算に便利だという話です。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/03/19 09:51

行列Aに対して

Aa=λa (λは固有値(スカラー値))
となるベクトルaを固有値λに対する固有ベルトルと定義すると

b=ca(cは適当な非ゼロのスカラー値)
とすると
Ab=A(ca)=cAa=cλa=λb

だから、bも固有値λに対する固有ベクトルになります。

つまり、一つの固有値に対して固有ベクトルは
無数にあるので|a|=1 となるベクトルを「適当に」
選ぶことがあります。

|c(1、0、0、1)|=1
となるようにcを選ぶとc=±1/√2
だから
(1/√2、0、0、1/√2)
か
(-1/√2、0、0、-1/√2)
のどっちかで良いです。

#厳密にはcは絶対値が1/√2になる複素数ならなんでも良いのだが
#自由過ぎるので、実ベクトルの問題ではそこまではやらない
#のが暗黙のルール(^_^;)