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今学校で行列を習い始めたのですが、逆行列やら1次変換やらケーリーハミルトンやら・・・聞きなれない言葉とともになじみのない計算方法を教わるばっかりで、この単元はいったい何がしたいのかサッパリ分かりません(ノД`)
例えば2次関数では頂点を求めたり、数列ではn番目の数が導けたりしますよね。今まで習ってきた範囲ではこのように解答を導く意味が感じられ面白かったのですが、ここにきて定理や公式に乗っ取ってただ答えを出すだけな気がしてほんと楽しくないです。行列があまり図やグラフを使わず抽象的なものだからでしょうか?
まだ習い始めたばっかりで難しいことは分からないので、高校生のレベルで行列とはナニモノなのか教えてくれませんか?少しでも興味が持てるようになれれば嬉しいです♪

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A 回答 (10件)

あえて身も蓋もない言い方をしますが,高校数学で教わる行列は「何をしたいのか分からなくて当然」だと私は思っています.高校数学で扱う範囲の行列の学習内容が,「何をしたいのか」から切り離された,形式的な計算だけに終わってしまっているからです.要するに現在の高校数学の内容(学習指導要領)が悪いのです.次期学習指導要領では高校数学から行列がなくなりますが,私はそれはしかたない(何をしたいのか分からないまま行列を学ぶぐらいなら,行列を一切知らないほうがマシ)と思っています.



「行列とはナニモノか」という問いへの答は,すでにほかの方々の回答で示されていて,それらはどれも当たっているのですが,質問者さんが「行列とはナニモノか」を実感とともに知って興味を持てるようになるための最良の方法は,2×2行列と2次元数ベクトルという最も単純なケースで「1次変換」のよい例題を見つけて,実際に計算して体験してみることではないかと思います.

20年ほど前の高校数学には「代数・幾何」という科目があり,当時の教科書では,「2×2行列を2次元数ベクトルに掛ける」ことが「平面の図形の変形」(平面の1次変換)に対応することがうまく説明されています.当時の高校生は「行列って何をしたいのか分からない!」とは思わなかったのではないでしょうか.当時の教科書や学習参考書を入手するのは難しいかもしれませんが,公立図書館や学校図書館で探してみる価値はあるかもしれません.

2×2行列に限定して1次変換の考えを高校生向けにわかりやすく解説したおすすめの本として,
黒田 俊郎(著)「行列のえ・ほ・ん (新版数学バイパス (6))」(三省堂)
がありますが,残念ながら絶版で入手困難です.もしかしたら公立図書館で見つかるかも.
大学生向けの参考書ですが,
川久保 勝夫(著)「なっとくする行列・ベクトル」(講談社)
もおすすめです.

ここでは具体的な例題を1題だけ,上述の「行列のえ・ほ・ん」から紹介します.

ハメハメハ王国に「過疎・過密現象」が起こり始めた.
現在のところ農村部の人口は都市部より多いが,今後,毎年農村部人口の30%が都市部に,都市部人口の10%が農村部に移動すると予想されている.
ハメハメハ王国の将来の都市部と農村部の人口はどうなる?
ハメハメハ王国の人口はいつも100万人で,増減はないものとする.

この問題を解くために,たとえば,今年の都市部・農村部の人口を40万人・60万人として,1年後の人口を計算しようとすると,この計算は2×2行列と2次元数ベクトルの積で表せます.2年後,3年後,…は行列の2乗,3乗,…に対応します.そして,10年後,20年後,さらに遠い将来どうなるか? それを考えるための手段として,行列の固有値と固有ベクトルという考えが重要な役割を果たすことになるのです.
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 ここでは、行列をA,Bなどで、ベクトルをx,yなんかで表します。

質問文に上がっていた項目について、コメントしたいと思います。高校数学は、中学数学の完成という面と、大学数学への準備という面が確かにあります。

(1)逆行列
 最初に言える事は、行列やベクトルは、連立方程式を解くために生まれて来た、という事です。よって逆行列は当然出てきます。またこの時、計算手段として必須なのが、行列式(detA=ad-bc)ですが、じつは大学においても、行列式は浮いた存在なんです。これについては、後でもう一回言います。
 逆行列で連立方程式を解くのは、ほとんどが理論的な話をする時です。数値計算を行う場合は、#3さんのようなやり方をし、コンピュータとの相性は抜群にグ~~!です。

(2)1次変換
 次に言える事は、y=Axという式は、じつは1次関数y=ax(の拡張)だという事です。なんで簡単な1次関数にそんなに手をかけるかと言えば、人間は1次関数くらいしか直接扱えないからです。もちろん2次関数や3次関数の計算はできますが、形を把握したい時には、微分して増減表を使います(微分もやってますよね?)。増減表を作るときには、接線のイメージで1次関数を利用していませんか?。微分とは、ぐにゃぐにゃ曲がった関数の各点で、関数を接線化する事だと言っても、あながち間違いではありません。微分して、わかりやすい1次関数に置き換えて考えるわけです。大学では、多変数関数に対して同じ事をやります(y=ax^2+bx+cなどは1変数関数。平面の方程式なんかは、zについて(x,y)の多変数関数)。この時現れるのが、y=Axの形です。よって、1次関数の整備は急務だという事になります。
 ところがAが2×2だとしても、yとxの成分は2個づつあるので、1次関数y=Axのグラフを書くには、4次元になります。これは「絵にも描けない」ものです。グラフの価値ってなんでしょう?。それは入出力関係を一目で捉えられる事だと思います。そこでxの定義域である2次元平面と、yの値域である2次元平面とを重ねて表示する、という方法が考え出されました。で、やってみると、「行列による点の変換」という新たな幾何学的意味が現れます。それだけでなく、ベクトルの和は複素数の和に対応し、複素数の積は、伸縮変換と回転変換の合成だという事もわかります。この二つは行列で表現できますし、回転行列は自明に三角関数と関連します。さらに「点の変換」を二つ与えれば、行列を定義する事すらできます。
 というわけで、これだけ利用価値があるなら、「行列による点の変換」という考えを概念として独立させるべきだとなり、「1次変換」という単元が現れます。

(3)ケイリー・ハミルトン
 さっきy=Axは1次関数だと言いましたが、ふつうのy=axにおいても、その値を計算するためには、1次関数の理論だけでは不足です。実数の理論(実数の計算方法)が別途必要です。例えば、実数範囲の不等式の問題は、実数の計算方法に関する固有の問題だと考えられます。y=Axでも事情は同じです。数の拡張(#5さんより)としての行列の計算方法が、別途必要になります。典型的な問題例は、行列と数列との融合問題だろうと思います。y=axとの違いは、対象が身近かどうかだけです。
 x(n+1)=Ax(n),x(n)=(a(n),b(n))である時に、x(n+1)を求めるにはA^nがわかれば良い、となります(そのうち出てきますよ)。高校の行列,ベクトルの範囲は、大学では初等線形代数という分野に引き継がれます。そこでは行列は、線形写像の表現と呼ばれます。
 A^nを求めるには、線形写像の基本構造に遡る事によって行列の標準形を定めると、A^nは見た瞬間にわかるようになります。これは数の拡張としての行列の性質の良さから来ていますが、その際に決定的な役割を果たすのが、ケイリー・ハミルトンの定理です。
 ケイリー・ハミルトンには行列式の知識が不可欠です。ところが行列式は本当は、初等線形代数の範囲には納まり切らないのです。でも(1)の事情もあって、行列式論は大学でも取って付けたように現れます。行列式やケイリー・ハミルトンは、大学初年級に至ってさえ浮いた存在なのです。なので高校で初めてケイリー・ハミルトンを見た時に、「何だこりゃ?」と思っても仕方ないと思います。
 それでなおさら、大学で出てきた時に戸惑わないように「高校のうちにケイリー・ハミルトンを紹介しとこう」となりますが、結局大学でもう一回戸惑います(ふつうは)。

 余り長くなってもあれなので、この辺で止めますが、以上の話と皆さんの回答を合わせると、「な~んとなく」イメージが沸いて来ないでしょうか?。
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行列は、「数の組」です。


ベクトルにも同じ意味がありますが、行列はその名前の通り「行」と「列」という「構造」があるのが特徴です。

2×2行列の場合は、4種類の数が含まれますから、これをセットで表すことで、複雑な計算を単純化できるわけです。

単純化することで、見通しがよくなり、共通の性質を発見しやすくなります。
コンピュータとも相性が良いのです。

そのうち、行列を、座標で扱う図形の変形に使う勉強も始まると思います。
そうしたら、イメージも膨らむのではないでしょうか。
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行列を使うと、多元1次連立方程式を解くことがかんたんになります。


解き方は#3のjesaliceさんが詳しく回答しています。

2x+3y=8
3x+2y=7
という二式になってしまう連立方程式も、行列を使うとただ一つの式で表せます。

s、tを2行1列の行列、ただしs=(x & y)、t=(8 & 7) (&で行の区切りと思ってください。)
Aを2行2列の行列、A=(2 3 & 3 2)とすると、
t=As

これは二元一次だけでなく、三元一次でも四元一次でも……おなじことです。


さらに、この行列は図形の拡大・回転にも使えます。
xy平面上のある点P=(x & y)を、原点中心に角度θ回転させ、原点からr倍の位置に動かします。A=r(cosθ -sinθ & sinθ cosθ)を使うと、点Pの移動先P'はP'=APで表せるのです。
ほら、図形にも応用できるでしょ?
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 2x2の行列ってのは要するに平面の幾何学(ただし、図形そのものよりも、図形が埋め込まれている空間の方に着目する幾何学)だと思うのが良いでしょう。

いろんな座標系を渡り歩くことや、図形を回したり引き延ばしたりする変形(アフィン変換、アファイン変換とも言う)を系統的に扱える手段です。出て来るどの概念も、幾何学の問題として解釈しなおせば意味が把握しやすくなります。
 例えば、あるベクトルに行列を掛ける場合、ベクトルは点の座標を、行列はある座標系から別の座標系(直交座標系とは限らず、一般に斜交座標系)への座標変換を表している。この座標変換によって、点の座標の数値がどう変わるか、という計算をやっていることになります。行列と行列を掛ける場合、第一の(右側の)行列が表す座標変換に続いて、第二の(左側の)行列が表す座標変換をする、という操作を表している。逆行列はもちろん逆変換のことです。また、ある行列を複数の行列の積に分解する操作は「与えられたよく分からん座標変換を、一連の素性の知れた座標変換の組み合わせで表す」ということです。
 だから、分からんものが出て来たら、「これって、幾何学的にはどういう意味になるの?」という観点で考えてみるのが良いでしょう。
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行列とは「数」の拡張のひとつです。


これまでも、整数→有理数→実数→複素数 と「数」の概念が年次とともに拡張されてきたと思います。
その延長線上に行列もあります。

これまで習った数と決定的に違うのが「交換可能でない(AB ≠ BA)」ことです。
さらに「逆元 (A^(-1)) が存在するとは限らない」ことも挙げられるでしょう。

もちろん、行列の二次方程式を考えて、その解を考えることも可能です。
行列の数列を考えることも可能です。

しかし、いかんせん普通の数とは性質が大きく異なるので、
いきなりそのような問題に取り組むことはできません。
(例えば √A がどのような行列 A について存在するのかとかね)

まずは行列にはどのような性質があるのか、基礎的な部分を習得する必要があります。
そして高校ではその辺でだいたい教育過程がおわります。
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> まだ習い始めたばっかりで難しいことは分からないので、高校生のレベルで行列とはナニモノなのか教えてくれませんか?



行列には色々な顔があります。
行列を利用する人や目的によって、行列の意味は変わってくると思います(個人的な意見ですが)。

例えば、行列を「データの集合体」と考えることができます。
2×2の行列を作り、
1行目を斎藤君のテストの点数、2行目を鈴木君の点数、
1列目を国語のテストの点数、2列目を算数のテストの点数とすれば、
この行列は「テストの点数の集合体」です。
さらに、1学期中間テストの点数をまとめたものを行列A、
1学期期末テストの点数をまとめたものを行列Bとすれば、
行列の加法A + Bは、「1学期のテストの合計点」を表す行列となります。

他の考え方としては、行列は「ベクトルに変形を施すもの」と考えることができます。
(ベクトルでなく、座標と考えてもよいです)
行列とベクトルの積はベクトルになります。
そこで、行列Aとベクトルvの積を「ベクトルvにAという変形を施したもの」と考えます。
(vにAという変形を施したもの → Av)
そうすると逆行列A^(-1)をかける作業は、「Aという変形をされたベクトルを、元に戻す変形」と考えられます。
逆行列が存在しないなら、それは「元に戻す変形方法が存在しない」ことを意味します。
行列Aと行列Bの積ABは、「変形Bを施したあとに、変形Aを施す変形」という
合成変形を意味します。
(AB×v = ABvなので、vに先にかかるのは行列Bの方。なので「変形Bを施したあとに、変形Aを施す変形」となります)

最初の例と後の例で、行列の意味が違っているのに気付きましたか?
行列の意味が変われば、必要な処理も変わってきます。
最初の例では、行列の足し算に意味を持たせることができました。
が、行列の積に対しては何の意味も持たせられませんよね。

ちなみにここで挙げたのは一例です。
他にも色々な行列の顔があるはずです。

高校の時点では、生徒が将来どんな目的で行列を使うようになるかは分からないので、
どんな使い方をしても大丈夫なように、
色んな(無駄に見える)計算方法を勉強するのだと思います。
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高校生くらいで想像ができそうなのは連立方程式ですかね


たとえば
3x+4y=11
6x+y=29
みたいな2元連立方程式があるとします。もちろんこのくらい簡単なものを解くのは
片方の式をもう片方に代入すればxやyは求まります。
しかしためしにこれを行列を使って解いてみましょう。
上の2つの式は行列を用いて次のように書けます。(等角フォント推奨。かっこの見づらさは勘弁してください・・・)

( 3 4 ) ( x ) = ( 11 )
( 6 1 ) ( y ) ( 29 )

さて、ここで2×2行列である
( 3 4 )
( 6 1 )
を行列Aとします。すると上の式は
 A ( x ) = ( 11 )
   ( y ) ( 29 )

と書けます(実際に書くときはAの字は2段目に書くくらいの大きさです)

行列Aの行列式が0じゃないことからAには逆行列があるようです。
そこでAの逆行列A^(-1)を計算して求めます。(計算は省略)

上の式の両辺に「左から」A^(-1)をかけてやると、

A^(-1) ×A ( x ) = A^(-1) ( 11 )
       ( y )      ( 29 )

逆行列の定義より、A^(-1)×A=Eであるので(Eは単位行列)

( x ) = A^(-1) ( 11 )
( y )      ( 29 )

となります。あとはA^(-1)の値を代入してやって、右辺の計算をしてやれば
( x ) = ( 5 )
( y ) ( -1 )

となり、最初の2元連立方程式の解xとyが同時に求まります。

なんでこんな簡単なのを考えるのに逆行列なんか使うんだと思うかもしれませんが
もっと未知数が多くなって、たとえば
3x+4y=11
6x+y=29
3z+4w=41
6z+w=58
みたいな連立方程式を

( 3 4 ) ( x z ) = ( 11 41 )
( 6 1 ) ( y w ) ( 29 58 )

と行列にしてさっきと同様にすれば
( x z ) = ( 5 9 )
( y w ) ( -1 4 )

とすっきりx,y,z,wが求まるわけです。(実は行列の計算は連立方程式を解くのと同じことをやってるんですが)

とまあここまで書いてみましたが、正直高校の範囲で行列を使わなければやってられないような
複雑な数式はまず出てこないと思います。

これから大学とかで勉強していく上で、数学や物理はもっとたくさんの未知数を扱ったり
ごちゃごちゃした数式をいじくっていくので、それら難しい方程式を比較的楽に解いたりするために行列を使うのです。

いわば、計算のための道具・手段です。(さらに発展すると、「考え方のベース」になります)

x^4 + 6x^2 + 3 = 0 みたいな方程式があったらX = x^2 とおけば簡単に解けるだろう、ってのと同じです。
実際いろんなところで便利だから使ってるんです。

その「いろんなところ」を説明するのはそれこそ大学の内容になってしまうのですが、
でも行列の計算だけなら難しいものでもないし、大学とかにしてみれば「そこから教えるのかよ」みたいな感じのものなので
とりあえず高校生には計算にだけ慣れてもらおう、ということだと(私は勝手に)思ってます。

確かに#1さんの言っているようによくわかんないけど学ばされるのには抵抗があるかと思いますがそれも大事なことなんです。
chir_rupさんのように疑問をもって知ろうとするのは重要なことなんですけどね。
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高校では2次行列まででしょうか。

確かに、直感的に分かりづらい概念だと思います。大学レベルになるとより高次のマトリクスが出てきますが、空間でイメージできるのは3次までなので4次以上のマトリクスは直感で捉えることはほとんど不可能です。
マトリクス(行列)が直接役に立つもの、というとコンピューターのプログラムくらいしか思いつきませんが、いろいろな分析のベースとなる概念なのでしっかりと理解しておいた方がいいと思います。自然科学分野はもちろん、経済や行動心理学等の分析でも、一見無関係に思える多数の事象の相互関係を見つけるという作業が必要になります。数学で言えば多元連立方程式を解くような作業です。そこで役立つのがマトリクスの概念なのです。分かりにくいですね。
高校の数学は、より高度な学問のための基礎、という位置付けだと思います。自然現象や社会現象を読み解くのに、必要不可欠な「考え方のベース」です。よく、数学なんて実生活に何の役にも立たないという意見を聞きますが、私はそうは思いません。ただ、それが分かったのは大学やその後の研究で専門的な勉強をしてからです。専門職に就かないにしても、物事を論理的に考えて理解するベースは実生活の色々な場面で大いに役に立つはずです。
私自身高校時代は数学が苦手だったのでエラそうな事は言えませんが、がんばって下さい。
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この回答へのお礼

応援ありがとうございます(^^♪
コンピューターのプログラムにかかわるものなんですね。
私はインターネットくらいしかしないのでよく知りませんが、ソフトを作るときなんかに行列の知識が使われているのかな?
将来どんなことに興味を持ちどんな仕事に就くか分からないのでfiskerさんのおっしゃる通り、
今は学校でしっかり基礎の勉強をしておかなきゃと思います。
どうもありがとうございました!

お礼日時:2008/05/25 22:59

回答じゃないですけど...


世の中楽しくてやれることばかりじゃないので
楽しくなくてもやれる耐性を身に付けとくと
なにかといいですよホント。
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この回答へのお礼

そうですね。大人になるってそういうことなのかもしれません。でも私は何においても自分なりに少しでも楽しむ方法を見つけようとした後で、楽しめるかそうでないかを見極めたいと思ってます。早速のご回答ありがとうございました。

お礼日時:2008/05/25 22:44

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