数値解析について

私は某大学に今年から入学したものです。図書館で数値解析についての本を読んでいたら疑問が浮かび上がりました。お手数ですが教授が教えてくれないのでお願いします。
１．次の式の値を精度よく計算するには、どのように計算したらよいのでしょう。（絶対値が小さいx）
（１）(1+x)^1/2-(1-x)^1/2
（２）1-cosx

２．対角優位行列Ａはなぜ正則であるのですか。

３．対角優位行列はなぜＬＵ分解可能でのですか。

お手数ですがお願いしますm(_ _)m

No.3 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2004/11/17 20:13

対角優位行列 = 優対角行列 = 「どの行においても対角成分の絶対値が他の成分の絶対値の和より大きい」ですね.

これが正則であることを示すときに, 多分わかりやすいのは
A が正則 ⇔ x≠0 なら Ax≠0
を示すことだと思います.

以下簡単に:
ベクトル x の絶対値最大の成分が x[i] であると仮定します (さらに x_i > 0 と仮定してよい). このときに Ax の第i成分 sum(j=1, ..., n) a[i, j] x[j] = a[i, i] x[i] + sum(j = 1, ..., n, j ≠ i) a[i, j] x[j] ≠ 0 であることを x[i] ≧ |x[j]| と |a[i, i]| > sum(j = 1, ..., n, j ≠ i) |a[i, j]| から示すことができます. 従って Ax ≠ 0 となるため A は正則となります.

No.2 回答者： grothendieck 回答日時： 2004/11/17 18:25

計算機の浮動少数は有限桁の精度しか持っていません。

大きさがほとんど等しい二つの数の引き算を行うと、精度が低下する「桁落ち」が発生します。
　(1+x)^1/2-(1-x)^1/2 = 2/((1+x)^1/2+(1-x)^1/2)
　1-cosx = 2sin^2(x/2)
は数学では恒等式ですが、数値計算では右辺の形の方が桁落ちが発生しない望ましい形ということになります。

No.1 回答者： age_momo 回答日時： 2004/11/16 19:27

＞教授が教えてくれない

先生、怒るかあきれるかしたんじゃないですか。

１．テーラー級数もしくはマクローリン級数を熟読してください。数値解析には欠かせない、基本的なものです。精度良くという事なら通常、省略する項まで計算すればいいんじゃないでしょうか。
(1)1+x/2-x^2/8+x^3/16-(1-x/2-x^2/8-x^3/16)=x+x^3/8
(2)1-(1-x^2/2+x^4/12)=x^2/2-x^4/24

２，３は　正則 ≡ 行列式が0じゃない ≡ LU分解可能　同じことですね。
2×2の行列のことを思い出してください。
a b
c d
正則じゃないためにはad-bc=0
対角優位とはadがbcより大きい行列の事をだったと思います。明らかに正則でLU分解可能ですね。