A=18 21 24 27∈Mat2×2(Z)に対しPAQが対角行列になるようなP,Q∈GL2(Z)

A=18 21
24 27∈Mat2×2(Z)に対しPAQが対角行列になるようなP,Q∈GL2(Z)を求めてほしいです。
GLn(R)=｛P∈Matn×n(R)|det(P)∈R^x｝と置かれてます。

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/01/11 12:05

なんか答え見つかったので書いとく。

系統的な解法がほしいとこだけど、思いつかんかったので...

A の各成分の素因数分解を考えて
各列の共通因子を括り出すと、
A = BD,
D =
　6　0
　0　3,
B =
　3　7
　4　9
と書ける。

ここで、なぜかうまい具合に
det(B) = -1 になっているから、
(B^-1)A = D.

問題の答えは
P = B^-1 =
　-9　7
　4　-3,
Q = E =
　1　0
　0　1
で十分。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2024/01/14 20:43

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/01/11 20:32

A

=
(18,21)
(24,27)

(18,21)(1,-1)=(18,3)
(24,27)(0,1.).(24,3)

(1.,0)(18,21)(1,-1)=(1.,0)(18,3)=(18,3)
(-1,1)(24,27)(0,1.).(-1,1)(24,3).(6.,0)

(1,-3)(1.,0)(18,21)(1,-1)=(1,-3)(18,3)
(0,1.)(-1,1)(24,27)(0,1.).(0,1.)(6.,0)

(4,-3)(18,21)(1,-1)=(0,3)
(-1,1)(24,27)(0,1.).(6,0)

(0,1)(4,-3)(18,21)(1,-1)=(0,1)(0,3)
(1,0)(-1,1)(24,27)(0,1.).(1,0)(6,0)

(-1,1)(18,21)(1,-1)=(6,0)
(4,-3)(24,27)(0,1.).(0,3)

∴
P
=
(-1,1)
(4,-3)

Q
=
(1,-1)
(0,1.)

No.5 回答者： cage64 回答日時： 2024/01/11 18:46

出題意図は単因子論なんじゃないの？

（対角行列にもっと条件があるのでは？）
P,Qの条件は、行列式が±1ですね。

https://amanokatsutoshi.github.io/public_html/le …
あたりを参考にどうぞ。

この場合は全部の最大公約数が3に注意する必要あり。

第2列を第1列から引く
第1行を第2行から引く
第1列の7倍を第2列から引く
でも対角行列だが、おそらくさらに、
第1列を(-1)倍する
のが期待される答ではないだろうか。

P,Qの計算はご自分でどうぞ。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/01/11 16:07

A

=
(18,21)
(24,27)

の余因子行列をP,Q=Eとすると

P
=
(27,-21)
(-24,18)

PAQ
=
PA
=
(27,-21)(18,21)
(-24,18)(24,27)
=
(-18,0)
(0,-18)

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/01/11 11:27

←No.1

環 R の乗法群のつもりじゃない？
R=Z なら、det(P)≠0 でいいのにね。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/01/11 02:31

GLn(R) の定義に出てくる R^x ってなに?