オイラリアン数の反転公式、逆行列の意味は？

二項係数や２つのスターリング数の反転公式、逆行列は知っています。
オイラリアン数 E(n, m)　とは、1,2,…,nの置換πで、π(i)<π(i+1)となる個数で、E(n, m)を行列とみなすと、下三角行列で行列式は1のようです。
http://en.wikipedia.org/wiki/Eulerian_numbers
ということは、逆行列も整数値です。

組合せ論的にも比較的意義を持つであろうと予想するのですが、オイラリアン数の反転公式、逆行列の意味はなんなのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： wloop 回答日時： 2009/01/04 20:59

回答にもアドバイスにも全然至らないのですが面白いと思って

AT&Tのinteger sequencesというサイトで探してみました。
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A055 …
「Matrix inverse of Euler's triangle」とあるだけで
組み合わせ論的な意味等は触れられていません。
ただSequence in contextという個所にある行列
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A113 …
は行がおおきくなるにしたがって行列要素が大きくなる様子
（桁数の増え方）が少し似てるかなと思いました。
この行列の一番初めの列はトーナメント数列（id:A113085）
と呼ばれるものらしいです。

全然関係ないかも知れませんし、その可能性は高いと思うの
ですがご勘弁ください。Eulerian numberのように
漸化式が簡単な関係になるのかも気になります。