「教えて!ピックアップ」リリース!

行列A=
(3 1)
(0 3)

について、e^(tA)を計算せよ。
という問題です。f(x)=e^(tA)のマクローリン級数を使うのは分かるのですが……それまでの過程が分かりません。
どなたか教えていただけないでしょうか?
よろしくお願いします!

A 回答 (8件)

はじめまして.



まず,e^(tA)の定義を調べるべきです.話はそれからです.

あとは,A^nを帰納的に求めて,e^(tA)を計算すればよいのです.

e^(tA)の定義のこと以外で,わからないことがありましたら,精一杯お答えさせて頂きたいと思っております.

この回答への補足

回答ありがとうございます。
早速分からないところがあったので、質問させていただきます。
A^nというのは、具体的にどうやったら求められるのでしょうか?
そして、e^(tA)をA^nからどうやって計算すればいいのか分かりません。
分からないことだらけですみません。
よろしければ、回答してくださると、とてもありがたいです。
よろしくお願いします。

補足日時:2007/05/24 21:49
    • good
    • 0

思考停止しないで考えましょう.


Eは単位行列,
N=
0 1
0 0
とすれば,A=3E+Nだし,N^2=0
Nはベキ零と呼ばれる行列の一種です.

二項定理を使わなくても
1行2列の成分も,漸化式を立てるなりすれば
計算は簡単ですし・・そうしなくても
素因数分解してみるとかいろいろ推測の手はあります.
    • good
    • 0
この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

「A=3E+N,N^2=0」の意味が分かりました。分かりやすい説明、ありがとうございます。

色々な推測の仕方があるんですね。これから、自分でやってみようと思います。
おかげで少しずつ分かってきた気がします。ご指導ありがとうございました!

お礼日時:2007/05/26 21:53

A^1:


[3^1 3^0]
[0 3^1]

A^2:
[3^2 3^1+3^1]
[0 3^2]

A^3:
[3^3 3^2+3^2+3^2]
[0 3^3]

A^4:
[3^4 3^3+3^3+3^3+3^3]
[0 3^4]

A^5:
[3^5 3^4+3^4+3^4+3^4+3^4]
[0 3^5]

この回答への補足

回答ありがとうございます。
とても分かりやすく書いてもらえて嬉しいです。
おそらく、1行2列というのは、Σ3^(k-1)というように思えるのですが…。(k=1,2…)
どうでしょうか?

補足日時:2007/05/26 20:43
    • good
    • 0
この回答へのお礼

今まで回答して下さり、ありがとうございます。
おかげ様で、無事解決できました。
本当にありがとうございました。

お礼日時:2007/06/07 22:26

#2です。



e^(tA)の定義は分かったのでしょうか.ちゃんと調べてくれたことを信じたいですね.

さて,A^nは”帰納的”に求めていけば,わかるはずなんですが...要は,A^2を計算して,A^3を計算して,A^4を計算して,…っていうことを繰り返すとどこかで法則性を見つければよく,見つけてA^nを推測すればよし.ホントは証明もするべきだけど,簡単だから必要ないでしょう.

A^nが分かれば,あとは”e^(tA)の定義”に入れて,ちょこまか計算すれば,あっという間に答えがでてきちゃうさ.

がんばってくださいね.

この回答への補足

回答ありがとうございます。
e^(tA)の定義は調べてみました。完璧とは言えませんが、一応、理解はできたような気がします。

今回のA^nの規則性なのですが、1行2列の規則性が推測できないですよね?だから、違うやり方をする、ということなのでしょうか。

補足日時:2007/05/25 07:10
    • good
    • 0
この回答へのお礼

今まで回答して下さり、ありがとうございます。
おかげ様で、無事解決できました。
本当にありがとうございました。

お礼日時:2007/06/07 22:27

A^n


を求めるときに式の形を崩さないようにしてやれば
各成分の一般系を求めることができる
問題は1行2列が求まればいいのである
他は自明
以上のようにして
A^n
の4成分を補足に書け
既に出してしまっている人もいるようだが自分で出すように

この回答への補足

回答ありがとうございます。

私も初めは規則性を見つけてA^nを推測するやり方をしていたのですが、やはり問題は1行2列ですよね。ここの規則性が分からないため、この問題は違うやり方をするのでしょうか?
よければ、回答して頂けたら助かります。
よろしくお願いします。

補足日時:2007/05/25 07:13
    • good
    • 0

行列A=


(3 1)
(0 3)

最初から A = 3E + N,N^2=0 だから,
二項定理ですぐに A^n は分かります.
A^n =3^n E + n 3^{n-1} N かな
大学受験にもよく出るタイプの行列です.
あとはこれを e^{tA} の展開(というか定義)にいれるだけ.
    • good
    • 0
この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
あの、更に質問なのですが、「A=3E+N,N^2=0」というのは、どこから出たんでしょうか?
よければ、回答お願いします。

お礼日時:2007/05/24 21:37

A^n(nは自然数)の求め方はわかるでしょうか。

わからなければ次のようにしてください。

ケーリー・ハミルトンの公式から、
A^2-(trA)A+(detA)I=0 です。 (Iは単位行列)
そして、x^nを固有方程式で割った余りを求めますが、この場合は重解になっているので、微分を使って余りを求めてください。

x^nを固有方程式で割った余りをpx+q(p、qは定数)とすると、
A^n=pA+qI になります。

あとは、マクローリン展開によるexp(x)の定義式に代入し、成分ごとにまとめてください。

この回答への補足

回答ありがとうございます。
回答で、分からない所があったのですが、固有方程式とは何でしょうか?無知ですみません。
よければ、教えていただきたいのですが。よろしくお願いします。

補足日時:2007/05/24 21:40
    • good
    • 0
この回答へのお礼

今まで回答して下さり、ありがとうございます。
おかげ様で、無事解決できました。
本当にありがとうございました。

お礼日時:2007/06/07 22:27

A


A^2
A^3
A^4
を補足に並べてきれいに書け

この回答への補足

回答ありがとうございます。
A=(3 1)
(0 3)
A^2=(9 6)
(0 9)
A^3=(27 27)
(0 27)
A^4=(81 108)
(0 81)
ということでしょうか?

補足日時:2007/05/24 21:44
    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!


人気Q&Aランキング