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画像の行列式がa0x^n+a1x^(n-1)+・・・+anを示す問題で
解答では数学的帰納法で解いていますが
第1列目で余因子展開をして、証明しても大丈夫ですよね?

「行列式 証明」の質問画像

A 回答 (6件)

何度もすみません。


計算ミスをしていたので訂正です。対角の上の -1 を落としていました。

第一行で一度だけ余因子展開しておけば、行列式の計算には差し支えないです。
「行列式 証明」の回答画像6
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大丈夫です。


第一列で余因子展開するのも
第n行で余因子展開するのも
考え方に違いはありません。
どっちが楽か?という差は
あるだろうけれども。
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No.03 です。


投稿してみたら画像の劣化がひどくて文字が読めなかったので、縦横比を変えて再投稿します。
参考になれば幸いです。
「行列式 証明」の回答画像4
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直接でも丁寧に説明すれば大丈夫だと思います。


あと、直接証明する別の方法も考えたので、よかったら参考にしてください。

図のように問題の行列に左から、
対角と一番上の行以外の成分は0のある行列を掛けます。(左辺)
すると、対角と一番左の列以外の成分が0のある別の行列になります。(右辺)
両辺の行列式を計算してみると、

x^n × (問題の行列式) = (a_0 x^n +a_1 x^n-1 +・・・+a_n) × x^n

となって問題の行列式がすぐ計算出来ます。
「行列式 証明」の回答画像3
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きちんと説明できれば OK.



ただしちょっとでも変なことを書いたらゴッソリ削られることは覚悟すべし.
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こんばんは。



うわー、微妙かもしれない・・・。ちょっと危ないかな?

安全に行くのなら帰納法を使った方がはるかに安全。

余因子行列が4×4とかなって、普通に解けるのか?ってことになってくるから、

帰納法を使って、第一列目に付いての余因子展開 になっていると思うけれど、

ちょっと危ない気がします。

ものすごくでかい行列かもしれないから、素直に帰納法使っておきましょう?

危ない道をわざわざ選ぶ必要はないと思うよ。

帰納法っていう安全な道があるんだから。

(=^. .^=) m(_ _)m (=^. .^=)

代数学の元非常勤だけど、正直ちょっと自信はないです。
σ(・・*)だったら、帰納法で行くと思う。
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