線形代数学のユニタリ行列の質問

大学の授業でユニタリ行列の問題をやったのですが、聞いていてもいまいち理解できませんでした。
とりあえず板書を写しておいたので問題と解答を載せます。
それでわからない箇所の説明をしていただきたいのです。

問題
※画像を見てください。

答え
U=（u1,u2,u3)
tU=(v1,v2,v3)

(v1,v3) = -（i × a/√3）+ 2i/6 = 0
a = (√3/i) × i/3 =1/√3

(u3,u2) = (i/√12）- (c/√2) = 0
c = √2 × i/√12 =i/√6

(u1,u2)= - (i × a/√2) - b/√2 = 0
b = - i　×　a = - i/√3


質問
(1)U＝（u1,u2,u3）とは何でしょうか？
　u1,u2,u3　が何をさしているのかもよくわかりません。
　同様にtU = (v1,v2,v3)もよくわかりません。
　ｔがつくことで何が違うのですか？

(2)（v1,v3)の計算がよくわかりません。
　　これはv1,v3をさしているものがわかればわかるかもしれないのですが、一応教えてください。

お手数ですがよろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： morimot703 回答日時： 2013/01/14 10:25

まず、ユニタリー行列とは何なになのか？　を復習された方がいいと思います。

答えを書けば、「エルミート行列を対角化する変換」として定義される行列です。
じゃ、エルミート行列とは、
A＝A†　となる行列です。
†じゃなく　単なる転置なら、Aは　対称行列　です。
それで、「対称行列を対角化する変換」として定義される行列は、直交行列です。
対称行列→直交行列　　ならわかると思います。
そのアナロジーで、
エルミート行列→ユニタリー行列
を計算してみて下さい。

No.3 回答者： misumiss 回答日時： 2013/01/14 10:44

とにかく, 画像の行列 U は, 決してユニタリ行列にはなり得ません.

エルミート行列を持ち出しても, 持ち出さなくても, そして, 誰がどんなに工夫して計算しても, U がユニタリ行列になることは, 絶対にないのです.