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大学の授業でユニタリ行列の問題をやったのですが、聞いていてもいまいち理解できませんでした。
とりあえず板書を写しておいたので問題と解答を載せます。
それでわからない箇所の説明をしていただきたいのです。

問題
※画像を見てください。

答え
U=(u1,u2,u3)
tU=(v1,v2,v3)

(v1,v3) = -(i × a/√3)+ 2i/6 = 0
a = (√3/i) × i/3 =1/√3

(u3,u2) = (i/√12)- (c/√2) = 0
c = √2 × i/√12 =i/√6

(u1,u2)= - (i × a/√2) - b/√2 = 0
b = - i × a = - i/√3


質問
(1)U=(u1,u2,u3)とは何でしょうか?
 u1,u2,u3 が何をさしているのかもよくわかりません。
 同様にtU = (v1,v2,v3)もよくわかりません。
 tがつくことで何が違うのですか?

(2)(v1,v3)の計算がよくわかりません。
  これはv1,v3をさしているものがわかればわかるかもしれないのですが、一応教えてください。

お手数ですがよろしくお願いします。

「線形代数学のユニタリ行列の質問」の質問画像
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A 回答 (2件)

まず、ユニタリー行列とは何なになのか? を復習された方がいいと思います。


答えを書けば、「エルミート行列を対角化する変換」として定義される行列です。
じゃ、エルミート行列とは、
A=A† となる行列です。
†じゃなく 単なる転置なら、Aは 対称行列 です。
それで、「対称行列を対角化する変換」として定義される行列は、直交行列です。
対称行列→直交行列  ならわかると思います。
そのアナロジーで、
エルミート行列→ユニタリー行列
を計算してみて下さい。
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とにかく, 画像の行列 U は, 決してユニタリ行列にはなり得ません.


エルミート行列を持ち出しても, 持ち出さなくても, そして, 誰がどんなに工夫して計算しても, U がユニタリ行列になることは, 絶対にないのです.
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