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Aが2次正方行列とする。
(1)Aが正則であるならば、det(A)≠0である。(2)det(A)≠0ならば、Aが正則である。
これを示せ。

教えてください、お願いします。

A 回答 (3件)

No.2投稿です。

1行目に誤字が1文字入ってしまった。訂正します。
誤 図1のように、2×2個の行材列要素をa、b、c、dと
正 図1のように、2×2個の行列要素をa、b、c、dと
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行列Aは2次正方行列であるから、図1のように、2×2個の行材列要素をa、b、c、dと


仮定する。行列Bは行列要素をx、u、y、vと仮定する。
Aが正則であるとは、Aの逆行列が存在することである。そのとき、Aの逆行列を
Bとすると、図2のようにABは単位行列になる。行列の積を計算すると、
ax+by=1__①
cx+dy=0__②
au+bv=0__③
cu+dv=1__④
の4式が成立することになる。
①と②の連立方程式を解くために①×d-②×bを計算すると
(ad-bc)x=d__⑤
①と②の連立方程式を解くために①×c-②×aを計算すると
(ad-bc)y=-c__⑥
③と④の連立方程式を解くために③×d-④×bを計算すると
(ad-bc)u=-b__⑦
③と④の連立方程式を解くために③×c-④×aを計算すると
(ad-bc)v=a__⑧
(1) ⑤⑥⑦⑧でad-bc=0ならば、a、b、c、dはすべて0となり
AB=OB=0は単位行列にならないから、Aが正則の仮定に反する。
ゆえにad-bc≠0。すなわちdetA≠0。
(2) 逆にad-bc≠0なら、⑤⑥⑦⑧でx、y、u、vの解が存在するので
逆行列Bが存在し、Aは正則である。
「Aが2次正方行列とする。 (1)Aが正則」の回答画像2
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2次ならAとBの関係(AB=I)を、AとBの成分に関する4個の方程式にして


解くというのが定石。簡単明瞭。

任意のn次だと
det(A)=0→正則ではない(正則→det(A)≠0)は
det(AB)=det(A)det(B)を使えれば簡単だけど
det(A)≠0→正則
はめんどくさい。
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