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Vandermondeの逆行列を教えてください
4次と5次が分かればいいのですが
どちらか1つでもいいです
サイトがあればそれも教えてください

|a^0 b^0 c^0 d^0|^(-1)=?
|a^1 b^1 c^1 d^1|
|a^2 b^2 c^2 d^2|
|a^3 b^3 c^3 d^3|

よろしくお願いします

A 回答 (3件)

>(1)上の結果は正しいでしょうか?


計算ミスがあるかもしれないので断定は避けたいところですが、
nubou さんと私が独立に行なって結果が一致しているので正しそうですね。


>(2)5次の逆行列の各行の分子の項数は左の列から
>1 4 6 4 1
>でしょうか?
1行だけ確認したところそのようになりました。
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この回答へのお礼

4次行列とその逆行列の積の第1列を計算すると
f(x)=(b-x)・(c-x)・(d-x)
とすると
第1行はf(a)/f(a)であり1
第1行はf(b)/f(a)であり0
第1行はf(c)/f(a)であり0
第1行はf(d)/f(a)であり0
だから正しいですね
他の列は文字の入れ替えだけなので全く同じですね
f(x)のx^nの各係数に着目すると一般の場合も完璧に証明できることが分かりました
どうもありがとうございました

お礼日時:2002/06/01 10:50

2次と3次



|a^0 b^0|
|a^1 b^1|

|a^0 b^0 c^0|
|a^1 b^1 c^1|
|a^2 b^2 c^2|

の逆行列がそれぞれ

|-b/(a-b) 1/(a-b)|
|-a/(b-a) 1/(b-a)|

|bc/(a-b)(a-c) -(b+c)/(a-b)(a-c) 1/(a-b)(a-c)|
|ca/(b-c)(b-a) -(c+a)/(b-c)(b-a) 1/(b-c)(b-a)|
|ab/(c-a)(c-b) -(a+b)/(c-a)(c-b) 1/(c-a)(c-b)|

になることから類推すると
n次の Vandermonde の行列
 [M(n)]_ij = (X_j)^(i-1)
の逆行列の(i,j)成分は
 (-1)^(n-j)*f(i,j)/{Π(X_i - X_j)}
のようになると思われます。

ただし、f(i,j)は X_i を除く(n-1)文字の(n-j)次の基本対称式を表すものとし、
Π は 1≦j≦n,j≠i の条件のもとで積をとっています。
具体的に4次の場合の逆行列の(2,2)成分では
 (-1)^(4-2)*f(2,2)/{Π(X2 - Xj)}
=f(2,2)/(X2-X1)(X2-X3)(X2-X4)
=(X1*X3 + X3*X4 + X4*X1)/(X2-X1)(X2-X3)(X2-X4)
のようになります。

4次の場合は検算するとあっていました。
5次は確かめていませんが、
n次の一般式でもとの行列と掛け算すると単位行列になりそうでした。
(頭の中でちょこっと考えただけなので確かめてください。)

この回答への補足

3次の場合は求めていたのですが回答と同じでした
質問の後4次の場合を求めてみました

A=(b-a)・(c-a)・(d-a)
B=(a-b)・(c-b)・(d-b)
C=(a-c)・(b-c)・(d-c)
D=(a-d)・(b-d)・(c-d)
とすると
[b・c・d/A -(b・c+c・d+d・b)/A (b+c+d)/A -1/A]
[a・c・d/B -(a・c+c・d+d・a)/B (a+c+d)/B -1/B]
[a・b・d/C -(a・b+b・d+d・a)/C (a+b+d)/C -1/C]
[a・b・c/D -(a・b+b・c+c・a)/D (a+b+c)/D -1/D]

もしこれが正しいとすると5次の場合も想像が付きますね
スペースの関係で表現できないのですが

(1)上の結果は正しいでしょうか?
(2)5次の逆行列の各行の分子の項数は左の列から
1 4 6 4 1
でしょうか?

よろしくお願いします

補足日時:2002/05/31 22:17
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URLに書かれているものは規格化されいてますが適当に変換してください。



参考URL:http://theory.ic.ac.uk/~brody/prog.html
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この回答へのお礼

ちょっと違うような気がするのですが
しかし回答ありがとうございました

お礼日時:2002/05/31 21:46

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